İyi sıralılık ilkesi

Küme Kuramının Teoremi

İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir:

Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir.

Bu teorem yararlıdır çünkü sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi-sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir.

Georg Cantor iyi-sıralılık ilkesini "temel bir uslamlama kuralı" olarak kabul ediyordu. Buna karşın çoğu matematikçi örneğin ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (Reel Sayılar) kümesinin iyi-sıralı bir küme yapılabileceğinden kuşku duymaktaydı. Örneğin 1904 yılında Julius König bunu tanıtladığını düşünüyordu fakat Felix Hausdorff kısa bir süre sonra tanıtlamada bir hata buldu. Ernst Zermelo, iyi-sıralılık ilkesini tanıtlamak için seçim aksiyomunu "kuşku duyulmaz mantıksal bir ilke" olarak kabul etmiş ancak yine kısa bir süre sonra bu aksiyomun iyi-sıralılık ilkesine denk olduğu anlaşılmıştır. Seçim aksiyomu, dolayısıyla iyi-sıralılık ilkesi, Zermelo-Fraenkel-Küme-Kuramı'ndan bağımsızdır. Başka bir deyişle hem bu ilke hem de karşıtı, çelişki doğmadan doğru olarak kabul edilebilir.

Doğal sayıların özelliği

Bazen iyi-sıralılık ilkesi doğal sayıların iyi sıralı olma özelliğini belirtir:

Doğal sayıların boş olmayan her altkümesinde en küçük bir sayı bulunur.

Bu durumdan bazen sonsuz düşüş yöntemini kullanan tanıtlamalarda yararlanılır: Bir S kümesinin tüm doğal sayıları içerdiğini tanıtlamak için tümünü içermediği varsayılabilir ve iyi-sıralılık ilkesi nedeniyle kümenin içermediği en küçük bir doğal sayı bulunur (en küçük karşı örnek). Bu aşamada daha da küçük bir karşı örnek bulunduğu gösterilirse bir çelişki ortaya çıkar. (Alternatif şekilde her karşı örnek için daha küçük bir örnek sayı olduğu dolayısıyla sonsuz şekilde düşülebileceği gösterilebilir; fakat bu durum doğal sayılarda olanaklı değildir.)

Bu tanıtlama yöntemi matematiksel tümevarımın tersidir (aynen "değil-B gerektirir değil-A", "A gerektirir B" ifadesinin tersi olması gibi) fakat yine de doğal sayıların iyi-sıralılık özelliğine dayanır.