Abc sanısı

abc sanısı sayılar teorisindeki bir sanı yani konjektürdür. 1985'te Joseph Oesterlé ve David Masser tarafından ortaya atılmıştır. Biri diğer ikisinin toplamı şeklinde ifade edilen üç tamsayının özellikleri üzerine kurulmuştur. Problemi çözmek için açık bir strateji bulunmadığı halde, sanı bazı ilginç sonuçları sayesinde tanınmıştır.

Formülleştirme

n pozitif tamsayısı için nin radikali rad(n) ile gösterilir ve n'in asal sayı bölenlerinin çarpımını ifade eder. Örneğin:

• rad(16) = rad(2⁴) = 2,
• rad(17) = 17,
• rad(18) = rad(2·3²) = 2·3 = 6.

a, b ve c aralarında asal pozitif tamsayılarsa ve a + b = c ise, (a, b, c) tamsayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle tanımlanır:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$.

Örneğin:

• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

a + b = c'yi sağlayan tipik bir (a, b, c) aralarınd asal tamsayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) < 0 olacaktır. Birinci örnekteki gibi q > 1 olan üçlüler aslında özellerdir ve küçük asal sayıların büyük üssel katlarını içerirler.

abc sanısı, herhangi bir ε > 0 için, a + b = c 'i sağlayan sonlu sayıda (a, b, c) aralarında asal pozitif tamsayı üçlüsü bulunacağını belirtir; öyle ki, q(a, b, c) > 1 + ε.

a + b = c yi sağlyan, q(a, b, c) > 1 olan sonsuz sayıda (a, b, c) aralarında asl tamsayı üçlülerinin bulundukları bilindiği halde; sanı, bunların sadece sonlu sayıdaki bir kısmının q > 1.01 ya da q > 1.001 ya da q > 1.0001, vs. olduğunu tahmin eder.

Benzer bir formülleştirme; herhangi bir ε > 0 için, bir K vardır ki,

${\displaystyle c<K\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$

eşitsizliği sağlanır.

Bazı sonuçlar

abc sanısı henüz kanıtlanmış değil; ama bir takım ilginç sonuçları var. Bunların arasında zaten bilinen sonuçlar olduğu gibi, koşullu kanıt verdiği sanılar da bulunmakta.

• Thue–Siegel–Roth teoremi ( Klaus Roth tarafından kanıtlandı)
• Fermat'in Son Teoremi büyük bileşenler için (Andrew Wiles tarafından kanıtlandı)
• Mordell sanısı (Gerd Faltings tarafından kanıtlandı)
• Erdős–Woods sanısı sonlu sayıda arşıt örenk hariç
• sonsuz sayıda Wieferich asalının varlığı
• Hall'ın sanısının zeyıf formu
• Dirichlet L-fonksiyonu L(s,(-d/.)) Legendre sembolü ile kurulur, Siegel sıfırı yoktur.
• P(x)'in x tamsayısı için sadece sonlu sayıda tam üssü vardır, öyle ki P en az üç basit sıfırlı bir polinomdur.^[1]
• Tijdeman'ın teoreminin genelleştirilmesi
• Granville-Langevin sanısına eştir
• modifiye edilmiş Szpiro sanısına eştir.
• Dąbrowski (1996) abc sanısının ${\displaystyle n!+A=k^{2}\,}$ı kanıtladığını gösterdi, öyle ki herhangi bir A tamsayısı için sonlu sayıda çözümü vardır.^[2]

Notlar

2. Andrzej Dąbrowski (1996). "On the diophantine equation ${\displaystyle x!+A=y^{2}}$". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321–324.