Büyük sayılar yasası/Kanıt

Bu madde veya bölüm Büyük sayılar yasası maddesine çok benzemektedir ve bu iki maddenin tek başlık altında birleştirilmesi önerilmektedir. Birleştirme işlemi yapıldıktan sonra sayfaya {{Geçmiş birleştir}} şablonunu ekleyiniz.

X₁, X₂, ... şeklinde, E(X₁) = E(X₂) = ... = µ < ∞ biçiminde ifade edilebilecek sonlu bir beklenen değere sahip, sonsuz sayıda i.i.d. rastgele değişken serisi verildiğinde, örneklemin ortalamasının yakınsadığı değeri arıyoruz:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}$

Zayıf yasa

Teorem: ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}$

Chebyshev'in eşitsizliğini kullanarak kanıtı

Bu kanıt varyansın sonlu olduğu varsayımına dayanır: ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$ (tüm ${\displaystyle i}$ değerleri için). Rastgele değişkenlerin bağımsız olması, aralarında herhangi bir korelasyon olmadığını belirtir ve ayrıca

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

Serinin genel ortalaması μ, örneklemin ortalamasıdır:

${\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}$

Chebyshev'in eşitsizliğini ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ üzerinde kullanarak

${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$

elde edilebilir. Bu, aşağıdakini elde etmek için kullanılabilir:

${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$

n sonsuza gittikçe, ifadenin değeri 1'e yaklaşır. Olasılıktaki yakınsama tanımı (bkz. Rastgele değişkenlerin yakınsaması) gereği,

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}$

sonucunu elde ederiz.

Karakteristik fonksiyonların yakınsamasını kullanarak kanıtı

Karmaşık fonksiyonlardaki Taylor'un teoremi gereğince herhangi bir rastgele değişkenin karakteristik fonksiyonu, X, μ sonlu ortalamasıyla, aşağıdaki şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0.}$

Tüm X₁, X₂, ... değişkenleri aynı karakteristik fonksiyona sahiptir, böylece bunu φ_X ile belirtebiliriz.

Karakteristik fonksiyonların basit özelliklerini kullanarak

${\displaystyle \varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}({\tfrac {t}{n}})\quad {\textrm {and}}\quad \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)\quad {\textrm {if\,}}X\,{\textrm {and}}\,Y\,{\textrm {are\,\,independent}}.}$

Bu kurallar, ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {X}}_{n}}$'in φ_X: cinsinden karakteristik fonksiyonunu hesaplamak için kullanılabilir:

${\displaystyle \varphi _{{\overline {X}}_{n}}(t)=\left[\varphi _{X}\left({t \over n}\right)\right]^{n}=\left[1+i\mu {t \over n}+o\left({t \over n}\right)\right]^{n}\,\rightarrow \,e^{it\mu },\quad {\textrm {as}}\quad n\rightarrow \infty .}$

Limit e^itμ, sabit rastgele değişken μ'nün karakteristik fonksiyonudur ve Lévy süreklilik teoremi gereğince, ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {X}}_{n}}$ dağılımda μ değerine yakınsar:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {\mathcal {D}}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}$

μ, dağılımdaki μ'ye yakınsamanın ve olasılıktaki μ'ye yakınsamanın eşit olduğunu ifade eden bir sabittir. (Bkz. Rastgele değişkenlerin yakınsaması) Bu da şu anlama gelir:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .}$

Bu kanıt gerçekte şu anlama gelmektedir ki, olasılıkta örneklem ortalaması, var olduğu sürece, merkezdeki karakteristik fonksiyonun türevine yakınsar.