Cauchy uzayı

Genel topolojide ve analizde, bir Cauchy uzayı Cauchy yakınsaklığının yine mantıklı bu kavram için metrik uzayının ve tektip uzayıının bir genellemesidir. ,bir Cauchy süzgecinin düşüncesinden elde edilen aksiyomatik araçlar olarak, topolojik uzaylar içinde tamlık içinde incelemek amacıyla Cauchy uzayları 1968 içinde H. H. Keller tarafından tanıtıldı.Cauchy uzaylarının kategorisi ve Cauchy süreklilik göndermeleri kartezyen yakınlıktır,ve yakınlık uzayının kategorisini içerir.

Bir Cauchy uzayı bir X kümesidir ve kuvvet küme P(X) içinde uygun filtrelerin bir C koleksiyonudur böylece

1. X içinde her x için xda ultrasüzgeç, U(x), C içindedir.
2. Eğer F C içinde, ve F G nin bir altkümesi,ise G C içindedir.
3. Eğer F ve G C içinde ve Gnin her kesişim üyesi Fnin her üyesi ,ise F ∩ G C içindedir.

C nin bir ögesi bir Cauchy süzgecidir ve bir (X,C) ve (Y,D) Cauchy uzayları arasında bir f göndermesi f(C)⊆D ise Cauchy sürekliliğidir; bu X içinde her Cauchy süzgecinin her görüntüsü Y içinde Cauchy içindedir.

Özellikler ve tanımlar

Herhangi Cauchy uzayı ayrıca bir yakınsak uzayıdır, burada bir xa yakınsak F süzgeç eğer F∩U(x) Cauchy'dir.Özelde, bir Cauchy uzayı bir doğal topoloji taşır.

Örnekler

• Herhangi tektip uzayı (bundan dolayı herhangi metrik uzayı, topolojik vektör uzayı, veya topolojik grup) bir Cauchy uzayıdır; bakınız Cauchy süzgeci için tanımlar.
• Bir kafes dereceli grup bir doğal Cauchy yapısı taşır.
• Herhangi bir tek tip uzay (dolayısıyla herhangi bir metrik uzayı, topolojik vektör uzayı, veya topolojik grup) bir Cauchy uzayıdır; tanımlar için Cauchy filtresine bakın. Bir kafes düzenli grup doğal Cauchy yapısını taşır. Herhangi A kümesinin yönettiği A nın verilen herhangi bir n öğesi, eğer F nin bir U ögesi var, ise Cauchy olması için bir F filtresi belirlenerek bir Cauchy uzayı içine yapılabilir burada U gibi F'nin bir U ögesidir veya bir tekizi ya da {m | m ≥ n}-kuyruğunun bir alt kümesidir. A dan X a Cauchy-süreklilik fonsiyonlarının ardından , verilen diğer herhangi bir X Cauchy uzayı A indisli X Cauchy ağları ile aynıdır, X eksiksiz ise, bu tür bir fonksiyon A ∪ {∞} yazılabilir A'nın tamamlanmasına uzatılabilir; ∞ da uzatma değerinin ağ limiti olacaktır.A doğal sayılarının {1, 2, 3, …} , (A tarafından indekslenen bir Cauchy ağ bir Cauchy dizisi ile aynı şekilde) olduğu durumda, o zaman A metrik uzay {aynı Cauchy yapı alır 1, 1/2, 1/3, ...}.

Cauchy uzaylarının kategorisi

Cauchy uzayları arasında biçimin doğal yapısı bu bir Cauchy-sürekli fonksiyonudur, Daha önce aynı uzaylar için çalışılmış olan bir kavramdır.

Kaynakça

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Cauchy Sürekli Haritalarının Fonksiyon Sınıfları (Function Classes of Cauchy Continuous Maps). Dekker, New York, 1989.