Dalga fonksiyonu

Dalga fonksiyonu, Schrödinger Denklemi'ni sağlayan ve parçacığın enerjisi, momentumu gibi bilgileri içinde bulunduran bir fonksiyondur. İstenen bilgi gerekli operatörün fonksiyona uygulanmasıyla elde edilir. Dalga fonksiyonu uzay ve spin dalga fonksiyonlarının çarpımı olarak da ifade edilebilir. $\psi\,$ şeklinde gösterilen dalga fonksiyonu uzay, $\Psi\,$ şeklinde gösterilen dalga fonksiyonu ise toplam dalga fonksiyonunu temsil eder. Ayrıca indislerle de istenen dalga fonksiyonu betimlenebilir. Örneğin:

$\Psi={\psi}_\mbox{uzay}\cdot{\psi}_\mbox{spin}$

$H\Psi=E\Psi\,$

Enerjiyi bulmak için Hamiltonyen operatörü: $H=\imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ kullanılarak

$\imath\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=E\Psi$

E, enerji değeri olmak üzere elde edilir. Dalga fonksiyonu ve operatörlerin bir de matris temsilleri vardır. Bu temsille şekil bulan kuantum mekaniğine matris mekaniği de denir. Heisenberg tarafından geliştirilen ve Dirac tarafından da oldukça destek bulan ancak fiziği soyutlaştırdığı diğer fizikçiler tarafından öne sürülen bu mekanik tartışma konusu olmuştur. Bu temsilde dalga fonksiyonu mevcut bütün durumların süperpozisyonundan oluşan bir vektördür. Diğer bir temsil de brakett temsilidir.

Bağlı bir parçacığın dalga fonksiyonunun sağlaması gereken koşullar, $x_k\,$ sınır noktaları ve $\psi_i\,$ de i bölgesiyle ilişkili dalga fonksiyonu olmak üzere:

• $\lim_{x\to \pm\infty} \psi(x)=0\,$
• $\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2\,dx=1$
• $\psi_i(x_k)=\psi_j(x_k)\,$
• $\left [ \frac{d\psi_i(x)}{dx} \right ]_{x=x_k}=\left [ \frac{d\psi_j(x)}{dx} \right ]_{x=x_k}$

şeklinde verilir. Dalga fonksiyonunun mutlak değer karesi parçacığın olasılık yoğunluğunu verir. Parçacığın belirli bir aralıkta bulunma olasılığı ise mutlak değer karesinin bu aralıktaki integraline eşittir.

$\rho(x)=|\psi(x)|^2\,$

$P(a\le x \le b)=\int_a^b |\psi(x)|^2 \, dx$