Klein-Beltrami modeli

Geometride, izdüşüm modeli olarak da adlandırılan Klein Modeli, (Beltrami-Klein modeli, Klein-Beltrami modeli ve Cayley-Klein modeli) geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan (öyle ki bu doğru parçalarının bitiş noktaları bahsi geçen kürenin -ya da dairenin- sınır çizgilerini oluşturur) n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. Poincaré yarı-düzlem modeli ve Poincaré daire modeli'nde olduğu gibi, Klein-Beltrami modeli de ilk kez, bu modelleri hiperbolik geometrinin Öklid Geometrisi ile eşit derecede tutarlı olduğunu ispatlamak için kullanan Eugenio Beltrami tarafından ortaya atılmıştır. Uzaklık fonksiyonu ilk kez Arthur Cayley tarafından ortaya atılmış ve Felix Klein tarafından hiperbolik geometride geometrik açıdan kaleme alınmıştır.

Hiperboloit Modeli ile bağlantısı

Hiperboloit model, Minkowski uzayında hiperbolik geometrinin bir modelidir. Farzedelim ${\displaystyle [x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}]}$ reel ${\displaystyle (n+1)}$-uzayında bir vektör olsun. ikinci dereceden Minkowski formunu şöyle tanımlarız:

${\displaystyle Q([x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}])=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

İkinci dereceden Minkowski formu $Q$ için öyle bir bilineer -ikilidoğrusal- ${\displaystyle B}$ formu bulabilirim ki,

${\displaystyle B(u,v)=(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.}$

olarak tanımlansınır. Eğer

${\displaystyle u=[x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}],v=[y_{0},y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

ise bunu

${\displaystyle B(u,v)=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}=x_{0}y_{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} .}$

şeklinde yazabiliriz. Ve bunu Minkowski izdüşüm uzayının belli noktalarına (burada bu noktaları merkezden noktaya çizilmiş ışınlar olarak düşünelim) bir hiperbolik metrik koymakta kullanabiliriz. (Bir ${\displaystyle u}$ vektörü için şunu söyleyebiliriz: ${\displaystyle Q(u)>0}$.) Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$ bu şekilde oluşturulmuş iki vektörse, bu iki vektör arası uzaklığı

${\displaystyle d(u,v)=\operatorname {arccosh} ({\frac {B(u,v)}{\sqrt {Q(u)Q(v)}}}).}$

olarak tanımlarız. Bu homojen bir fonksiyondur, dolayısıyla noktaların izdüşümleri arasındaki uzaklığı tanımlar. Hiperboloit modelini de Klein modelini de bu izdüşümsel noktaları normalize ederek elde edebiliriz. Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$ doğrularını birinci koordinatı pozitif yapmak için gerekiyorsa işaret değiştirerek ve ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$yi ${\displaystyle u'={\frac {u}{\sqrt {Q(u)}}},v'={\frac {v}{\sqrt {Q(v)}}}}$yu elde edecek şekilde bölerek normalize edersek, (böylece noktalar ${\displaystyle Q(u')=Q(v')=1}$ eşitiğini sağlayacak), hyperboloid modeli elde ederiz. Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$yi normalize etmek yerine ilk koordinatlarına bölersek (${\displaystyle Q(u)}$ ve ${\displaystyle Q(v)}$ sıfırdan büyük olduğundan, sonuç da sıfırdan büyük olacaktır.) izdüşümsel düzlemin noktaları birim dairenin iç kısmında kalan bir alt kümesini elde ederiz. Bunu merkezden geçen ${\displaystyle t=1}$ hiper yüzeyli doğruların kesişimi olarak da düşünebiliriz.