Lie bicebri

matematikte, bir Lie bicebiri bir bicebir'in Lie-teorik durumudur: Bir Lie cebiri ve Lie cocebri yapıya sahip bir küme ile uyumludur. Bu bir bicebirdir. burada eş-çarpma çarpık simetrik ve bir çift Jacobi kimliğini karşılar, bu nedenle bir Lie cebirinde çift vektör alanı vardır, eş-çarpma , bir 1 - eş-döngü iken, bu çarpma ve eş-çarpma ile uyumludur. uygulamada,eş-benzerlik bir Lie bicebiri için bir eş-sınır, bicebirin sadece sınıflarının bir çalışması eş-döngü durumu anlamına gelir. Ayrıca Lie cebiri ve Poisson-Lie grubu olan içeren Poisson-Hopf cebiri vardır.

Lie bicebirinde Yang-Baxter denklemi ile çalışmak doğal olarak vardir.

Tanım

Daha doğrusu,cebir üzerinde eşçarpım, ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$ eş-değişmeli olarak adlandırlır, ve iki özelliği karşılamalıdır.Ve bu çift

${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

bir Lie braketi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ olmalı, ve eş-döngü şöyle olmalı:

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

burada ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ ek'tir.

Poisson-Lie grupları İlişkisi

Diyelimki G bir Poisson-Lie grubu olsun,${\displaystyle f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)}$ grup manifoldunda iki düzgün fonksiyon olsun ve diyelimki ${\displaystyle \xi =(df)_{e}}$ kimlik öğesi de ayırıcıdır. açıkça, ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$.Poisson yapısı grup ardından bir braketi indükler ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ve böylece,

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,}$

burada ${\displaystyle \{,\}}$ Poisson brakettir. Verilen ${\displaystyle \eta }$ Poisson bivektör manifoldu üzerinde olmak üzere, ${\displaystyle \eta ^{R}}$ tanımı bivektörün G içindeki eş elemanıdır sağa-çevirme olmaktadır.Sonrası şudur

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

öyleyse tanjant gönderimi eş-değişmelidir :

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

böylece

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})}$

eş değişmeli çiftidir.

Ayrıca bakınız

• Lie eşcebri
• Manin üçlüsü

Kaynakça

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.