Rassal değişken

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistikin temeli kurulmuştur.

Son birkaç yüzyılda olasılıkla ilgili matematiksel fikirler geliştirilirken rassal değişkenlerlerle ilişkili teori ve kullanım matematik kuramı biçimlerine konulmuştur. Rassal değişkenleri modern matematik görüşle tam olarak anlamak için, daha yakın zamanlarda matematikçiler tarafından geliştirilmiş olan ölçüm kuramı hakkında geniş bilginin kazanılması gerekmektedir. Rassal değişken kavramı, bu kuram içinde tüm özellikleri ile arka planda kalmakla beraber, kuramın içeriğinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Bununla beraber, rassal değişkenler kavramının matematiksel teoride değişik ileri seviyelerde fazla teori gerektirmeyen çok daha az ileri matematiksel bilgisi ile de anlaşılması mümkündür. Böylece rassal değişkenler hakkında temel bilgileri anlamak için sadece set kuramı ve değişkenler hesabının bilinmesi yeterli olmaktadır.

Geniş bir tanımlama ile, bir rassal değişken, değerleri rassal olan ve bu değerler için bir olasılık dağılımı saptamak imkânı olan bir sayıdır. Daha matematiksel biçimde, bir rassal değişken bir örneklem uzayından değişkenin mümkün değerlerinden oluşan ölçülebilir uzaya değişimi gösterir. Rassal değiskenlerin bu formel tanımlanması reel değerli sonuçlar veren deneyleri çok sıkı bir surette matematiksel ölçüm kuramı çerçevesi içine sokmakta ve reel değerli rassal değişkenler için dağılım fonksiyonu kurulmasına imkân sağlamaktadır.

Sezgisel tanımlama

Genellikle bir rassal değişken sayı şeklinde değerler alır. Ama bu her zaman doğru değildir; çünkü vektör, karmaşık sayılar, sıralamalar veya fonksiyonlardan oluşan rassal değişkenler bulunmaktadır. Eğer değişkenler reel-değerli iseler o zaman bir rassal değişken her ele alınıp incelendiği zaman değer değiştirebilen bir bilinmez sayı olarak düşünülebilir. Böylece bir rassal değişken bir rastgele sürecinin örnek uzayını bir sayı setine eşlemesini yapan bir fonksiyon olarak görülebilir. Bunu daha göze çarpar bir şekilde şu örneğinlerle gösterebiliriz:

Örnekler

Hileli olmayan bir metal parayı havaya atma ve hangi yüzü geleceğini ele alma deneyini önce ele alalım. Tek bir deney için mümkün sonuç olaylar ya "yazı" ya da "tura" olur. Birkaç defa para atılması ve bunlardan kaç tane yazı geleceği şu rassal değişken ile ifade edilebilir:

$X = \begin{cases}yazi,\\tura .\end{cases}$

ve eğer metal para için bu iki sonuç eşit olabilirlikli ise o zaman bu rassal değişken için bir olasılık kütle fonksiyonu bulunur ve şöyle ifade edilir:

$\rho_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2},& \text{if }x=yazi,\\ \frac{1}{2},& \text{if }x=tura.\end{cases}$

Bazen daha kolaylık sağlamak için bu haldeki değerler olarak ("yazı" veya "tura" kategorileri yerine) sayılar şeklinde olan bir rassal değişken tanımlanabilir. Bunu $Y$ reel rassal değişkenini kullanarak ve bunu şu şekilde tanımlayarak yapabiliriz:

$Y = \begin{cases}1,& \text{eger yazi ise } ,\\ 0,& \text{eger tura ise} .\end{cases}$

ve eğer metal para için bu iki sonuç için her iki taraf eşit olabilirlikli ise o zaman olasılık kütle fonksiyonu şöyle ifade edilir:

$\rho_Y(y) = \begin{cases}\frac{1}{2},& \text{eger }y=0,\\ \frac{1}{2},& \text{if }y=1,\\ 0,& \text{aksi halde} .\end{cases}$

Bir rassal ayrık rassal değişken kavramı kullanılması için diğer bir örneğin, hileli olmayan bir zar atılması ve düşen zarda üste gelen nokta sayısını görme şeklindeki deneyidir. Bu halde en basit açıklama, olası sonuçlar olan {1, 2, 3, 4, 5, 6} sayıları setinin "örnek uzayı" ve zar atınca gelen sayı X'in de rassal değişken şeklinde yapılabilir. Bu halde

$X = \begin{cases}1,& \text{eger 1 gelirse} ,\\ 2,& \text{eger 2 gelirse} ,\\ 3,& \text{eger 3 gelirse} ,\\ 4,& \text{eger 4 gelirse} ,\\ 5,& \text{eger 5 gelirse} ,\\ 6,& \text{eger 6 gelirse} .\end{cases}$

$\rho_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{6},& \text{eger }x=1,2,3,4,5,6,\\ 0,& \text{aksi halde} .\end{cases}$

Bir sürekli rassal değişken için bir örnek sonunda belli bir yöne yönelip kalan bir döner ibreli aletin ibresi ele alınabilir. Bu örneğinde rassal değişken tarafından sonuç değerler yönlerdir. Bu yönler ayrık olarak Kuzey batı, Doğu güney doğu vb. şekilde ifade edilebilirler. Fakat genellikle örnek uzayını bir rassal değişkene eşlendirilmesi yapılırken reel sayılar kullanmak daha kullanışlı olacaktır. Bunu başarmak için döner ibresini son durma yönünü Kuzey'den olan saat yönündeki açısının derece birimi ile ifade edebiliriz. Böylece rassal değişken [O, 360] aralığında herhangi bir sayı şekilde ifade edilir ve her bir mümkün sayının açıklığı rasgelirliği "eşit olasılıklı"dır. Bu halde rassal değişken X= ibre duruş açısı olur. Herhangi bir belirli sayının olasılığı 0 olur ama bir sayısal aralık için bir pozitif olasılık sayısı verilebilir. Örneğin, [0,180] arasında bir sayının gelme olasılığı ½ olur. Bu halde olasılık kütle yoğunluk fonksiyonu demeyiz ama X için olasılık yoğunluğu 1/360 olur. (0, 360) alt-seti icin olasılık bu setin ölçüsünü 1/360 ile çarpma ile elde edilir. Genel olarak, bir belirlenmemiş sürekli rassal değişken seti için olasılık yoğunluğun verilmiş set üzerinde entegrasyonunu bulmak suretiyle elde edilir.

Karışık ayrık ve sürekli rassal değişken için örneğin bir matal parayı atmak ile eğer para "yazı" gelmişse bir döner ibreli aletin ibresini döndürmek şeklinde verilebilir. Bu deneyin sonucunun matematiksel ifadesi şöyle olur: Eğer para atış "tura" gelirse X= -1; aksi halde X döner ibreli aletin ibresinin durduğunda gösterdiği yönün Kuzeye göre saat yönündeki açı değeridir. Bu ikili deney için rassal değişken değerinin -1 olma olasılığı ½ olur; diğer aralıklar için rassal değişken değerleri bir önceki deneyin sonuçlarının yarısına eşittir.

Reel değerli rassal değişkenler

Bu halde, $\scriptstyle(\Omega,\;\mathcal{F}\!,\;P)$ bir olasılık uzayı olsun. O zaman, bir rassal değişken olan X formel bir tanınımla

$X:\ \Omega \to \Psi.$

ölçülebilir fonksiyonu olur.

Rassal değişkenlerin dağılım fonksiyonları

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunu belli bir rassal değişkeni ile birlikte olduğunu düşünmek bir değişkene bir değer tahsis etmenin bir genelleştirilmesidir. Eğer yığmalı dağılım fonksiyonu sağdan sürekli bir Heaviside basamak fonksiyonu ise, o halde rassal değişken bu sıçrama için 1 olasılık değerini alır. Genel olarak, yığmalı dağılım fonksiyonu değişkenin belirli değerinde ne olasılık göstereceğini tanımlar.

Eğer

$(\Omega, A, P)$

olasılık uzayında tanımlanmış bir rassal değişken olan

$X: \Omega \to \mathbb{R}$

bilinmekte ise, şu şekilde soru sorulabilir:

"$X$in değerinin 2 den büyük olması ne kadar olabilirliktedir?".

Bunu aynı anlamda

"$\{ s \in\Omega : X(s) > 2 \}$ olayının olasılığı nedir?"

olarak sorabiliriz veya matematiksel ifade ile kısaca $P(X > 2)$ olarak yazabiliriz.

Bir reel değerli rassal değişken olan Xin çıktılarının bütün değerlerinin olasılıklarının hepsinin kaydı yapılırsa X için olasılık dağılımı ortaya çıkar. Olasılık dağılımı Xi tanımlamak için kullanılan belirli bir olasılık uzayını unutur ve sadece X çeşitli değerlerinin olasılığını kaydeder. Bu türlü olasılık dağılımı her zaman şu yığmalı dağılım fonksiyonu tarafından ele geçirilebilir:

$F_X(x) = \operatorname{P}(X \le x)$

ve bazen de ele geçirme bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilebilir. Ölçüm kuramında rassal değişken olan Xi Ω üzerindeki P ölçüsünü R üzerinde bir F ölçüsüne "ileri itmek" için kullanırız.

Teorinin altında bulunan Ω olasılık uzayı rassal değişkenlerin varoluşlarını garanti etmek için , bazen de onları inşa etmek için bir teknik gereçtir. Pratikte çok defa Ω uzayı tümüyle bir tarafa bırakılır. Doğrudan doğruya R üzerine reel doğrunun tümüne 1 ölçü değeri tahsis eden bir yeni ölçü koyulur. Yani rassal değişkenler yerine olasılık dağılımları doğrudan doğruya kullanılır.

Momentler

Bir rassal değişkenin olasılık dağılımı, çok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan küçük sayıda parametreler ile nitelendirilir. Örneğin, sadece "ortalama değer" olan λ değerini bilmek Poisson dağılımını bilmek için yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rassal değişkenin beklenen değeri olarak, yani E[X] olarak ifade edilir. Genellikle E[f(X)] ifadesi f(E[X]) ifadesine eşit değildir. "Ortalama değer" bilinince, bu ortalama değerin X tipik değerlerinden ne kadar fazla uzaklıkta olduğu sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rassal değişkenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.

Matematik kuramı içinde bu (genelleştirilmiş) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rassal değişkenler olan X için, E[f_i(X)] ifadesindeki beklenen değerler ile rassal değişken Xin dağılımını tam olarak nitelendiren bir {f_i} fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.

Rassal değişkenlerin fonksiyonları

Eğer X rassal değişkeni Ω üzerinde bulunursa ve f ölçülebilir fonksiyon R → R ise, bu halde de Y = f(X) de Ω, üzerinde bir rassal değişken olacaktır. Buna neden ölçüculebilir bir fonksiyonun kompozisyonu da ölçüulebilir olmalıdır. Bizi bir olasılık uzayi olan (Ω, P) den (R, dF_X)ye gitmemize izin veren yordam Y için dağılımı bulmak için de kullanılabilir. Y için yığmalı dağılım fonksiyonu

$F_Y(y) = \operatorname{P}(f(X) \le y).$

olur.

Örnek 1

X reel değerli bir sürekli rassal değişken olsun ve Y = X² olsun. O halde,

$F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \le y).$

Eğer y<0, o halde

P(X² ≤ y) = 0,

ve bu nedenle

$F_Y(y) = 0\qquad\hbox{if}\quad y < 0.$

Eğer y ≥ 0 ise, o zaman

$\operatorname{P}(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X| \le \sqrt{y}) = \operatorname{P}(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}),$

olur ve bundan dolayı

$F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{eger}\quad y \ge 0.$

Örnek 2

$\scriptstyle X$ bir rassal değişken olsun ve yığmalı dağılımı şöyle ifade edilsin

$F_{X}(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})^{\theta}}$

Burada $\scriptstyle \theta > 0$ sabit bir parametredir. Şimdi şu rassal değişkene, yani $\scriptstyle Y = \mathrm{log}(1 + e^{-X}).$ bakılsın. O zaman

$F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \leq y) = P(X > -\mathrm{log}(e^{y} - 1)).\,$

Bu son ifade $X,$in yığmalı dağılımı terimleri ile şöyle hesaplanabilir:

$F_{Y}(y) = 1 - F_{X}(-\mathrm{log}(e^{y} - 1)) \,$

$= 1 - \frac{1}{(1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)})^{\theta}}$

$= 1 - \frac{1}{(1 + e^{y} - 1)^{\theta}}$

$= 1 - e^{-y \theta}.\,$

Rassal değişkenlerin birbirine eşitliliği

Rassal değişkenlerin birbirlerine eşitliliği kavramı birbirlerinden değişik anlamları olan çeşitli şekillerde açıklanabilir. Bu değişik şekiller şöyle sıralanabilir: iki rassal değişkenin eşitliliği; nerede ise kesinlikle eşitliği; ortalama olarak eşitliliği; dağılım içinde eşitliliği. Bu sıralama değişik eşitlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılığına göre (en çok bağlayıcı tanımdan en zayıf tanıma doğru) yapılmıştır. Bu değişik eşitlilik kavramların ayrıntılı tanımları aşağıda verilmektedir.

Dağılım içinde eşitlilik

İki rassal değişken X ve Y eğer aynı dağılım fonksiyonuna sahip iseler; yani

$\operatorname{P}(X \le x) = \operatorname{P}(Y \le x)\quad\hbox{for all}\quad x.$

ise, dağılım içinde eşitlilik gösterirler

Birbirine eşit moment üreten fonksiyonu olan iki rassal değişken de aynı dağılımı gösterir. Örneğin, bu çeşit eşitlilik bazı fonksiyonların eşit olup olmadıklarını kontrol etmek için kullanılır bir yöntem olabilir.

Dağılım içinde eşitlilik göstermeleri için rassal değişkenlerin aynı olasılık uzayında tanımlanmalarına gerek yoktur. Dağılım içinde eşitlilik kavramı, olasılık dağılımları arasında bulunan uzaklık kavramı ile şöyle ifade edilen yakın bir ilişkisi bulunmaktadır:

$d(X,Y)=\sup_x|\operatorname{P}(X \le x) - \operatorname{P}(Y \le x)|,$

Bu tanımlama Kolmogorov-Smirnov sınaması için temel teoriyi sağlar.

Ortalamada eşitlilik

İki rassal değişken X ve Y için, eğer |X - Y| nin p-inci momenti sıfır ise; yani

$\operatorname{E}(|X-Y|^p) = 0.$

ise p-inci ortalama için eşitlilik kavramı tanımı ortaya çıkar.

p-inci ortalama eşitlilik kavramı aynı zamanda her r<p için r-inci ortalama için eşitlilik anlamını içerir.

Daha önceki eşitlik tanımına benzer olarak, bu kavrama göre de iki rassal değişken arasında bir uzaklık ilişkisi şu ifade ile açıklanabilir:

$d_p(X, Y) = \operatorname{E}(|X-Y|^p).$

Nerede ise kesinlikle eşitlilik

İki rassal değişken X ve Y birbirine nerede ise kesinlikle eşitliliği sadece ve sadece iki değişken için birbirinden farklı olma olasılığı sıfır olursa, yani

$\operatorname{P}(X \neq Y) = 0.$

olursa ortaya çıkar:

Olasılık kuramının pratik kullanılması için bu tanımlama ve bu kavrama gore iki olasılık değişkeninin birbirine eşitliliği hiç olmazsa diğer eşitlilik kavramları kadar kesindir.

Bu tanımlama şu uzaklık kavramı ile ilişkilidir:

$d_\infty(X,Y)=\sup_\omega|X(\omega)-Y(\omega)|,$

Burada 'sup' ölçülme kuramı içindeki zorunlu üstünlük kavramını ifade eder.

Eşitlilik

Sonuncu tanıma göre ise, eğer olasılık uzaylarında fonksiyonlar olarak birbirine eşitlerse, yani

$X(\omega)=Y(\omega)\qquad\hbox{butun}\quad\omega$

olursa, iki rassal değişken olan X ve Y birbirine eşittirler.

Yakınsalama

Matematik istatistik analizinin büyük bir kısmı bazı rassal değişkenler serilerinin yakınsalama sonuçlarının geliştirilmesinden oluşmuştur. Örneğin, büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremi maddelerine bakın.

Bir rassal değişken serisi olan X_nnin limitte bir rassal değişken olan X'e yakınsalaması değişik tanımlamalara göre değişmektedir; bunun için olasılık değişkenlerinin yakınsalaması maddesine bakın.

Ayrıca bakınız

• Olasılık dağılımı
• Olay (olasılık kuramı)
• Rastsallık
• Rassal eleman
• Rassal vektör
• Rassal fonksiyon
• Rassal ölçü
• Olasılık üretici fonksiyon
• Algoritmik enformasyon kuramı
• Stokastik süreç

Kaynakça

• Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102 ISBN 0-12-394960-2
• Papoulis, Athanasios 1965 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 9th edition, ISBN 0-07-119981-0.

Bu makale PlanetMath'deki Random variable maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.