Runge teoremi

Mavi tıkız kümede holomorf olan bir f fonksiyonu ve her delikte bir nokta verilsin. f'ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir:

$K$ karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ nin tıkız bir altkümesiyse, $A$ kümesinin içinde $\mathbb{C}\backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları $A$ içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir $(r_n)$ dizisi vardır öyle ki bu $(r_n)$ dizisi f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.

$A$ kümesinin herhangi bir noktası, bu $(r_n)$ dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: $(r_n)$ dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar $A$ nın içindedir.

Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki $A$ kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, $\mathbb{C}\backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.

$\mathbb{C}\backslash K$ nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki $A$ kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer $K$, $\mathbb{C}$ nin tıkız bir altkümesiyse, $\mathbb{C}\backslash K$ bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi $(p_n)$ vardır.

Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise $A$ kümesi Riemann küresinin, yani $\mathbb{C}$∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca $A$ nın (şimdi ∞'u da kapsayan) $K$ kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup $K$ nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.

Ayrıca bakınız

• Mergelyan teoremi

Kaynakça

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2nci baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders.
• Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society; 2nci baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.