Sonlu fark

Sonlu fark, f(x + b) − f(x + a) matematiksel ifadesidir.

Sonlu fark, b − a ile bölündüğünde ise sonuç Newton katsayısı olur.

Sonlu fark, sonlu farklar yöntemindeki diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde kullanılır. Özellikle sınır değer problemlerinin çözümünde sıkça kullanılır.

İleri yönde, geri yönde ve merkezi farklar

Genelde yalnızca üç tip sonlu fark formu kullanılır. Bunlar: İleri yönde, geri yönde ve merkezi farklardır.

İleri yönde fark, aşağıdaki formun ifadesidir:

${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\ }$

Formun uygulamasına göre, h bir değişken ya da sabit olabilir.

Geri yönde farkta, fonksiyon değerleri olarak x + h and x yerine x and x − h kullanılır:

${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\ }$

Merkezi fark da, şu şekildedir:

${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).\ }$

Türev ilişkisi

Bir f fonksiyonunun x noktasındaki türevi o fonksiyonun limiti ile tanımlanır:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Eğer h sıfıra yaklaşmaktansa sabit (sıfır olmayan) bir değer alırsa, o zaman, denklemin sağ tarafını şu şekilde yazmak mümkün olabilir:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$

Görüldüğü gibi, ileri yönde fark h ile bölündüğü zaman, farkın değeri türevin değerine yakınsar (eğer ki h küçük ise). Bu yaklaşımda hata değeri Taylor teoremi ile bulunabilir. f sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyon ise, hata değeri:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}$

Aynı formülasyon, geri yönde fark için de geçerlidir:

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}$

Fakat, merkezi fark ile türevin asıl değerine daha da iyi yaklaşılır çünkü hata değeri, ara uzaklığın (h) karesi ile orantılır (eğer ki f fonksiyonu iki kez türevlenebilir bir fonksiyon ise):

${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!}$

Merkezi fark yöntemindeki sorun ise, salınımlı fonksiyonların sıfır türev türetebilmesidir. Merkezi farklar şeması kullanılarak yapılan bir işlemde, eğer değeri sıfır olmayan bir a değişkeni için f(ah)=1; değeri sıfır olan için ise f(ah)=2 ise, türev f'(nh)=0 olacaktır. Bu durum özellikle f fonksiyonunun tanım kümesi ayrık ise önemli bir sorundur.