Seri

Seri, bir dizi olmak üzere ${\displaystyle s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}+\ldots }$ toplamı. Bir seri kısaca ${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$ şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriye pozitif terimli seri, negatifse negatif terimli seri; bir pozitif bir negatif ise almaşık seri veya alterne seri adı verilir. ${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$, ${\displaystyle s_{1}=a_{0}+a_{1}}$, ${\displaystyle s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}}$, ..., ${\displaystyle s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}}$ toplamlarına serinin kısmi toplamları, (s₀, s₁, ..., s_n, ...) dizisine de kısmi toplamlar dizisi denir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.

Dizilerde ve serilerde yakınsaklık kavramı çok önemlidir. Bir serinin sonsuz teriminin toplamı belli bir sayı ise, bu seriye yakınsak seri denir. Diğer taraftan bir seri dizisi olduğundan ve genel terimin limiti mevcut olan bir dizi yakınsak olacağından ${\displaystyle S=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}}$, yani kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seri de yakınsaktır.

Bir serinin yakınsaklığını araştırmak için, S_n toplamının için limitine bakılır. Sonlu bir sayı bulunursa, seri yakınsaktır denir. Mesela ${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n(n+1)}}}$ serisinde ${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+\ldots +{\frac {1}{n\cdot (n+1)}}}$ toplamı, ${\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}$ yazılacak ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ bulunur. Limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}}$ serisi ise Sn toplamı bulunamadığı için ıraksaktır.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n}=-1+1-1+1-\ldots }$ serisinin de belli bir toplamı olmadığı için ıraksaktır.