Sonuşmaz

Matematikte sonuşmaz veya asimptot (İngilizcesi: Asymptote), belirli bir A eğrisine istenildiği kadar yaklaşabilen ikinci bir B eğrisine verilen addır. Bir başka deyişle, A üzerinde ilerledikçe, A ve B arasındaki mesafe azalır ve sıfıra yaklaşır. Asimptot kelimesi, Yunanca "beraber düşmek" anlamındaki simpiptein fiilinin olumsuz halinden türemiştir.

Fonksiyon grafikleri ve sonuşmazlar

f(x) = 1/x fonksiyonunun, biri yatay, biri düşey olmak üzere iki sonuşmazı vardır.

Sonuşmazlar limit kavramıyla tanımlanabilir. Herhangi bir $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için,

$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = a$   veya   $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = a$

önermelerinden biri doğruysa, y = a doğrusu, f fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır. Birinci önermenin doğru olduğunu varsayalım. Bu durumda, x değerini yeterince büyük seçersek, f(x) değerini a değerine istediğimiz kadar yaklaştırabiliriz. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde sonsuza doğru ilerledikçe, fonksiyon grafiği y = a çizgisine yaklaşacaktır. İkinci önerme doğruysa da, x ekseni üzerinde eksi sonsuza doğru ilerlemek aynı sonucu verecektir.

Örneğin, y = 0 çizgisi (ya da x ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır.

Benzer şekilde,

$\lim_{x \uparrow b}f(x) = \pm \infty$   veya   $\lim_{x \downarrow b}f(x) = \pm \infty$

önermelerinden biri doğruysa, x = b doğrusu, f fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır. Bu durumda, x değeri b^,ye yaklaştıkça, f(x) değeri artı veya eksi sonsuza doğru ilerler. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde adım adım b^,ye yaklaşırsak, fonksiyon grafiği artı veya eksi sonsuz yönünde büyüyecektir (ki buna matematikte "patlama" denir).

Örneğin, x = 0 çizgisi (ya da y ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır.

Mavi renkle gösterilen y = x doğrusu, f(x) = x + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır.

Sonuşmazlar yatay ya da düşey olmak zorunda değildir. Herhangi bir $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ doğrusu, aşağıdaki şartlardan birini sağlıyorsa, f fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır:

$\lim_{x \rightarrow \infty}(f(x) - p(x)) = 0$   veya   $\lim_{x \rightarrow -\infty}(f(x) - p(x)) = 0\,.$

Örneğin, y = x doğrusu, f(x) = x + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır. Aynı fonksiyonun bir de düşey sonuşmazı vardır: x = 0. Kimi kaynaklarda, yukarıdaki iki şarttan birini sağlayan her p(x) fonksiyonuna (doğru olmasa da) eğik sonuşmaz denir. Bu tanıma göre, örneğin y = x² parabolü, f(x) = x² + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır.

Dış bağlantılar

• MathWorld'den sonuşmaz sayfası (İngilizce)