Tüketerek tanıtlama

Tüketerek tanıtlama veya kaba kuvvet yöntemi ya da durum çözümlemesi olarak bilinen yöntem, tanıtlanacak önermenin sonlu sayıda duruma bölünerek her durumun ayrı ayrı tanıtlandığı bir matematiksel tanıt yoludur. Tüketerek tanıtlama iki aşamada gerçekleştirilir:

• Durumların sonlu sayıda olduğunu gösteren bir tanıt verilir; yani tanıtlanacak olan önermenin her gerçeklemesinin durumlardan en az birinin koşullarına uyduğunu göstermek.
• Durumlardan her birini tanıtlamak.

Bunun aksine Eski Yunan bilginlerinden Eudoxus of Cnidus'un tüketme yöntemi (tanıtlama) yöntemi matematiksel limitleri geometrik ve esas olarak özenli bir şekilde hesaplama yöntemiydi.

Örnek

Her küp sayısı 9'un katı ya da 9'un katının 1 eksiği ya da 1 fazlasıdır.

Tanıt

Her küp sayısı bir tam sayısının küpüdür. Bu tam sayı ya 3'ün katıdır ya da 3'ün katının 1 eksiği ya da bir fazlasıdır. Bu nedenle aşağıdaki üç durum tüm durumları kapsar:

• Durum 1: n sayısı 3'ün bir katı ise, n sayısının küpü 27 sayısının katıdır dolayısıyla kesin olarak 9'un bir katıdır.
• Durum 2: n sayısı 3'ün bir katının 1 fazlası ise n sayısının küpü 9'un bir katının 1 fazlasıdır.
• Durum 3: n sayısı 3'ün bir katının 1 eksiği ise, n sayısının küpü 9'un bir katının 1 eksiğidir.

[Tanıtı tamamlamak için, 2 ve 3 durumlarındaki önermeler basit cebir kullanılarak tanıtlanabilir.]

Kaç durum vardır?

Tüketerek tanıtlama yönteminde, izin verilen durum sayısı için bir üst sınır yoktur. Bazı hallerde yalnızca iki ya da üç durum bulunur. Diğer hallerde ise birkaç düzine durum olabilir. Örneğin, satrançta bir oyun sonu problemini çözmek bazen bir düzine ya da daha fazla hamle dizisinin incelenmesini gerektirebilir. Bazı durumlarda ise yüzlerce hamle (durum) incelenmek zorundadır.

Dört Renk Teoreminin ilk tanıtı 1.936 durumu olan bir tüketerek tanıtlama tanıtıydı. Verilen tanıt tartışma konusu olmuştu çünkü durumların çoğu matematikçi eliyle değil de bir bilgisayar programı tarafından denetlenmişti. Dört renk teoreminin günümüzde bilinen en kısa tanıtı dahi 600'ü aşkın duruma sahiptir.

Matematikçiler çok sayıda durumu olan tanıtlamalardan kaçınmayı yeğlerler; çünkü bu tanıtlar zarafetten yoksun görünürler, teoremin yalnızca şans eseri doğru olduğu ve temelinde bir ilke ya da bağlantının bulunmadığı izlenimini bırakırlar. Bununla birlikte, tüketerek tanıtlama dışında hiçbir yöntemle tanıtı bulunamayan teoremler mevcuttur. Dört renk teoremine ek olarak, tüketerek tanıtlamanın yapıldığı büyük tanıtlar için şu örnekler verilebilir:

• Sonlu Basit Grupları Sınıflandırma teoremi.
• Kepler Konjektürü.