Tersçapraz

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) AT şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A, Atr or At). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

AT dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:

[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}

Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise AT dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.

Örnekler

Özellikler

A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

  1. ( \mathbf{A}^\mathrm{T} ) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,
    Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.
  2. (\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,
    Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.
  3. \left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
    Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.
  4. (c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
    Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.
  5. \det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,
    Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.
  6. İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},

    bu çarpımda aibi şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.

  7. (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
    Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.
  8. Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.
This article is issued from Vikipedi - version of the 3/5/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.