van Stockum tozu

Bu sayfa, başka dilde bir Vikipedi'den çevrilmektedir. Siz de yardım etmek istiyorsanız veya çeviri yarıda kalmışsa, çalışmaya katılan kişilerle veya çeviri grubu ile iletişime geçip, sayfanın durumunu onlara sorabilirsiniz. Sayfanın geçmişine baktığınızda, sayfa üzerinde çalışma yapanları görebilirsiniz.

Genel görelilikte, 'van Stockum tozu Einstein alan denklemlerinin silindirik simetri ekseni etrafında dönen tozun oluşturduğu yer çekimi alanı için kesin sonucudur. Tozun yoğunluğu eksenden uzaklıkla beraber arttığı için çözüm oldukça yapay olmakla kalmaz, aynı zamanda genel görelelikteki bilinen en basit çözümlerden biridir. Pedagojik olarak önemli örneklerden biri olarak gösterilir.

Bu çözüm ismini Willem Jacob van Stockum dan almıştır, kendisi 1937 yılında, Cornelius Lanczos'un 1924 yılında keşfettiği olayın bağımsızlığını yeniden keşfetti.

Türetme

Bu çözümü elde etme yollarından biri de katı rotasyon içindeki silindirik olarak harika simetriye bakmaktır (akışkan çözümleri). Dünya hatları ile zamansal uyumlu sıvı parçacıkların sıfırdan farklı girdap olan ancak genişleme ve kesme kaybolan formunda olduğunu kabul ediyoruz. (İşin aslı toz parçacıkları kuvvet hissetmedikleri için, Bunun bir zamansal jeodezik uyum olduğu ortaya çıkacak ama bunu ileri işlemlerde böyle kabul etmemize gerek yoktur)

Tahmin yürüterek yaptığımız basit hesaplamalar aşağıdaki sisteme ihtiyaç duyar, bu da iki tane belirlenmemiş ${\displaystyle r}$ ye bağlı fonksiyonu içerir:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-h(r)\,\partial _{t}}$

Yanlış anlaşılmalardan kaçınmak için, aşağıdaki işlemi uyglamalıyız

${\displaystyle \sigma ^{0}=-dt+h(r)r\,d\phi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\phi }$

Böylece metrik tensörü iki tanımlanmayan faktör cinsinden verir.:

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Verilerimizi çarparsak

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\phi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\phi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Bu sisteme göre iki tanımlanmayan fonksyon cinsinden Einstein tensörünü bulmuş oluruz ve arika akışkan çözümlerinin sonucundan zaman benzeri birim vektör ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ oluştururuz sıvı parçacığına tanjant çizgisi olan her yer için. Böylece şu sonuca ulaşırız

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \,\operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\,\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Bu aşağıdaki koşulları vermektedir

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{r\,f}}}$

${\displaystyle f}$ yi çözüp ${\displaystyle h}$ değeri için uygun sistemler Van Stockum çözümünü tanımlamaktadır:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

Bu sistemin sadece ${\displaystyle r>0}$ da tanımlı olduğu unutulmamalıdır.

Özellik

Bizim çerçeveye göre Einstein tensör Computing aslında basınç kaybolur gösterir, bu yüzden bir toz çözümümüz var. Toz kütle yoğunluğu bek çıkıyor

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\,\exp(a^{2}r^{2})}$

${\displaystyle r=0}$ simetri ekseninde bu sonludur, ama yoğunluk yarıçap ile beraber artar ama malesef bu astrofiziğin sınırladığı özelliklerden biridir.

Gösterilen Killing denklemlerini çözersek aşağıdakiler tarafından oluşturulan

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

Burada, ${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$ sıfırdan farklı girdap vardır, bu yüzden, hem de bu eksen etrafında silindirik simetri ve dönme ekseni boyunca çeviri altında toz partiküllerinin dünya çizgisinde çeviri altında sabit bir uzay-değişmeyen var.

Gödel toz çözeltisi aksine, van Stockum toz parçacıkları geometrik seçkin eksen etrafında dönen vardır toz unutmayın.

Denildiği gibi ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ bileşeni kaybolur ama vorticity vektörü şu şekildedir.

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\,\exp(a^{2}r^{2}/2)\,{\vec {e}}_{1}}$

Bu hatta Comoving grafikte da toz partiküllerinin dünya hatları aslında parçacıklar simetri ekseni etrafında döndürülür toz olarak birbirinden yaklaşık büküm vardır, dikey çizgiler olarak görünür olduğu anlamına gelir. Toza bir küçük top yap evrimi takip Başka bir deyişle, bunun kendi ekseni çevresinde döner (${\displaystyle r=0}$ a parallel), ancak diğer kesme veya genişletmek değildir; İkincisi özellikler biz sert dönme ile ne demek tanımlar. , Çevri vektörünün büyüklüğü sadece bir olur eksen kendisini dikkat edin $a$.

Tidal tensörü;

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\,\exp(a^{2}r^{2})\,\operatorname {diag} (0,1,1)}$

bu toz parçacıkları üzerinde sürme gözlemci dönme düzlemi içinde izotropik gelgit gerilme geçirmektedir göstermektedir. Magnetogravitic tensör olduğunu

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\,\exp(a^{2}r^{2})\,\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

Aşikar paradox

Consider the thought experiment depicted in the following figure, in which the inessential coordinate ${\displaystyle z}$ has been suppressed:

This figure depicts a thought experiment in which an observer riding on a dust particle sitting on the axis of symmetry looks out at dust particles with positive radial coordinate. Does he see them to be rotating, or not?

Since the top array of null geodesics is obtained simply by translating upwards the lower array, and since the three world lines are all vertical (invariant under time translation), it might seem that the answer is "no". However, while the frame given above is an inertial frame, computing the covariant derivatives

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}}$

shows that only the first vanishes identically. In other words, the remaining spatial vectors are spinning about ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$ (i.e. about an axis parallel to the axis of cylindrical symmetry of this spacetime).

Thus, to obtain a nonspinning inertial frame we need to spin up our original frame, like this:

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta )\,{\vec {e}}_{2}+\sin(\theta )\,{\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta )\,{\vec {e}}_{2}+\cos(\theta )\,{\vec {e}}_{3}}$

where ${\displaystyle \theta =t\,q(r)}$ where q is a new undetermined function of r. Plugging in the requirement that the covariant derivatives vanish, we obtain

Yeni çerçeve, bizim Comoving iplik olmak üzere, grafik koordinat, görünür, ama aslında gyrostabilized edilir. Şekilde yeşil dünya hattı ile gözlemci muhtemelen nonspinning toz parçacık biniyor beri özellikle, (aksi spin-spin güçleri toz dinamikleri belirgin olacaktır), aslında o çevrede radyal ayrılmış toz parçacıklarını dönen edilecek gözlemler bir açısal hız ile yaptığı konumu hakkında saat yönünde. Bu ilk çerçevenin bizim daha önceki türetme bulunan parametre fiziksel anlamını açıklar.

(Bilgiçlik not: uyarı okuyucular bizim çerçeve alanları ne de ekseni üzerinde tanımlanan gerçeğini göz ardı fark etmiş olacak Ancak, biz uygun tek taraflı limit ile bir on-eksen gözlemci için bir çerçeve tanımlayabilirsiniz, bu verir. bir süreksiz çerçeve alanı, ama biz sadece bu bölümde ele düşünce deneyi takip etmek için bizim on-eksen gözlemci dünya hattı boyunca bir çerçeve tanımlamamız gerekir.)

Bu boş geodezikler yukarıdaki şekilde içeriye doğru spiral remarking değer. Bu bizim on-eksenli gözlemci biz sadece ne beklediğiniz tabii ki zaman gecikmeli yerlerde, diğer toz parçacıklarını görür anlamına gelir. Boş geodezikler bu grafikte "bent" görünür olması elbette toz parçacıklarının dünya satırları koordinat dikey göründükleri koordinatları Comoving bizim seçim bir eserdir.

Gerçek paradox

Bize van Stockum toz bazı tipik olaylar için ışık konileri çizelim, (bizim Comoving silindirik grafikte) onların görünüm radyal koordinat bağlıdır nasıl görmek için:

Şekilde görüldüğü gibi, r = a ^ de {- 1}, koni koordinat düzlemi t = T_0 teğet olmak ve biz kapalı bir boş eğrisi (kırmızı daire) edinin. Bu boş jeodezik olmadığını unutmayın..

Daha da dışa doğru gittiğimizde, görüyoruz ki daha büyük radii'li horizontal yuvarlaklar kapalı zamanımsı (zaman benzeri) eğridirler (curve) (yani büyük radiili horizanlar yuvarlaklar = kapalı zamanımsı eğri). Bu CTC lerin paradoksal yapısına ilk olarak van Stockum dikkat çekmişti: World lineları kapalı zamanımsı eğri oluşturan gözlemciler rahatça kendi geçmişlerini ziyaret edebilirler veya etkileyebilirler. Daha da kötüsü, böyle bir gözlemciyi, üçüncü hayatında(lifetime) örneğin hızlanmayı durdurmaya karar vermesini engelleyebilicek hiçbir şey yoktur ve bu durum ona bir den fazla biografi verir

These closed timelike curves are not timelike geodesics, so these paradoxical observers must accelerate to experience these effects. Indeed, as we would expect, the required acceleration diverges as these timelike circles approach the null circles lying in the critical cylinder ${\displaystyle r=a^{-1}}$.

kapalı zamansı (timelike) kıvrımlar genel göreliliğin birçok çözümünde ortaya çıkabilirler ve ortak ortaya çıkışları/görünüşleri bu teoriye en sorunsal teorik itirazlardan biridir. ancak çok az fizikçi böyle itirazların temelinde tamamen genel göreliliği kullanmayı reddederler. tercihen çoğu pragmatik tutum alarak her ne zaman onunla (genel görelilik) kurtulmak isterse teorinin birçok astrofiziksel durumda göreceli basitliği ve iyi kurulmuş güvenilirliği sayesinde göreceli olarak mantıklı gelir. bu birçok fizikçinin her gün newton fiziği'ni kullanmasına benzer değildir, öyle olsa bile onlar bunun galilei kinematiklerinin görelilik kinematikleri tarafından "yıkıldığının" çok iyi farkındalar

Ayrıca bakınız

• Dust solution
• Gödel dust solution

Kaynakça

1. Lanczos, Cornelius (1924). "Über eine stationäre Kosmologie im Sinne der Einsteinschen Gravitationstheorie". Zeitschrift für Physik 21: 73. Bibcode 1924ZPhy...21...73L. DOI:10.1007/BF01328251.  Lanczos's paper announcing the first discovery of this solution.
2. van Stockum, Willem Jacob (1937). "The gravitational field of a distribution of particles rotating around an axis of symmetry". Proc. Roy. Soc. Edinburgh A 57: 135.  Van Stockum's paper announcing his rediscovery of this solution.