Çizgi integrali

Matematikte bir çizgi integrali (bazen yol integrali, eğri integrali veya eğrisel integral de denilir), integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.

İntegrali alınan fonksiyon (integrand), skaler alan veya vektör alanı olabilir. Çizgi integralinin değeri, alanın eğri üzerinde bir skaler fonksiyonla ağırlıklaştırılmış (genelde bu ağırlık yay uzunluğudur veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel bir eğriyle skaler çarpımıdır) olarak aldığı tüm değerlerin toplamının değeridir. Bu ağırlık, çizgi integralini aralıklar üzerinde tanımlanan daha basit integrallerden ayırır. Fizikteki çoğu basit formül (mesela, ${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$), çizgi integrali bağlamında doğal sürekli analoglara sahiptir (${\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$). Çizgi integrali yandaki resimdeki gibi, bir elektrik veya yerçekimsel alanda hareket eden bir nesnenin üzerinde yapılan işi bulur.

Vektör hesabı

Niteliksel bağlamda, çizgi integrali bir eğri boyunca verilmiş olan bir alanın toplam etkisinin ölçümü olarak düşünülebilir.

Bir skaler alanın çizgi integrali

Bir f : U ⊆ Rⁿ ${\displaystyle \to }$ R skaler alanı için, bir C ⊂ U boyuncaki çizgi integrali

${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt}$

şeklinde tanımlanır. Burada r: [a, b] ${\displaystyle \to }$ C ise r(a) ve r(b) C 'nin son noktaları olacak şekilde, C 'nin herhangi bir birebir örten parametrizasyonudur.

f fonksiyonu integrand, C eğrisi integralin tanım kümesi ve ds sembolü ise yay uzunluğudur. Skaler alanların çizgi integralleri seçilmiş r parametrizasyonuna bağlı değildir.

Bir vektör alanının çizgi integrali

Bir F : U ⊆ Rⁿ ${\displaystyle \to }$ Rⁿ vektör alanı için, C ⊂ U boyunca, r yönündeki çizgi integrali

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$

şeklinde tanımlanır. Burada ${\displaystyle \cdot }$ nokta çarpımdır ve r: [a, b] ${\displaystyle \to }$ C ise, r(a) ve r(b) C 'nin sonnoktaları olacak şekilde, C eğrisinin birebir örten bir parametrizasyonudur.

Bir skaler alanın çizgi integrali bu yüzden vektörlerin doğruya her zaman teğet olduğu bir vektör alanının çizgi integralidir.

Vektör alanlarının çizgi integralleri, mutlak değer içindeki r parametrizasyonuna bağlı değildir; ancak eğrinin yönüne bağlıdır. Dha ayrıntılı bir şekilde, parametrizasyonun yönündeki tersi bir değişim çizgi integralinin işaretini değiştirir.

Yol bağımsızlığı

Bir F vektör alanı, bir G skaler alanının gradyanıysa; yani

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} }$

ise, o zaman G ve r(t) 'nin bileşkesinin türevi

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

olur ki bu da F 'nin r(t) üzerindeki çizgi integralinin integrandıdır. O zaman, verilen bir C yolu için

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a))}$

olmaktadır. Yazıyla ifade edilirse, F 'nin C üzerindeki integrali sadece G nin r(b) ve r(a) noktalarındaki değerlerine bağlıdır ve bu yüzden aradaki yoldan bağımsızdır.

Bu sebeple, bir skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanının çizgi integrali yoldan bağımsız olarak adlandırılır.

Uygulamalar

Çizgi integralinin fizikte birçok uygulaması vardır. Mesela, bir F vektör alanı olarak temsil edilen bir kuvvet alanı içinde yer alan bir C eğrisi üzerinde hareket etmekte olan bir parçacığın üzerinde yapılan iş F 'nin C üzerindeki çizgi integralidir.

Karmaşık çizgi integrali

Çizgi integrali karmaşık analizde temel bir araçtır. U, C'nin açık bir kümesi olsun, ${\displaystyle \gamma }$ : [a, b] ${\displaystyle \to }$ U doğrultulabilir eğri ve f : U ${\displaystyle \to }$ C bir fonksiyon olsun. O zaman

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz}$

çizgi integrali, [a, b] aralığını a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b olacak şekilde daha küçük aralıklara ayırılarak ve

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))}$

ifadesi göz önüne alınarak düşünülebilir. O zaman, alt aralıkların uzunlukları sıfıra gittikçe, integral bu toplamın limiti olur.

Eğer ${\displaystyle \gamma }$ sürekli türevlenebilir bir eğriyse, çizgi integrali gerçel değişkenli bir fonksiyonun integrali olarak değerlendirilebilir:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.}$

${\displaystyle \gamma }$ kapalı bir eğri olduğu zaman, yani, başlangıç ve bitiş noktaları aynıysa,

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

gösterimi, f 'nin ${\displaystyle \gamma }$ boyuncaki çizgi integrali için kullanılır.

Karmaşık fonksiyonların çizgi integralleri çeşitli teknikler kullanılarak değerlendirilebilir: İntegral, gerçel ve karmaşık kısımlarına bölünüp problem iki tane gerçel integralin bulunması problemine düşürülebilir, Cauchy integral formülü diğer durumlarda kullanılabilir. Eğer çizgi integralinin alındığı eğri, fonksiyonun analitik olduğu ve tekillik içermediği bir bölgede kapalı bir eğriyse, o zaman integralin değeri sadece 0 olur ki bu da Cauchy integral teoremi'nin bir sonucudur. Kalıntı teoremi sebebiyle, gerçel değişkene sahip gerçel değerli fonksiyonların integralini bulmak için çoğu zaman karmaşık düzlemde kontür integralleri kullanılır. (örnek için kalıntı teoremine bakınız.)

Örnek

f(z)=1/z fonksiyonunu ele alalım. C kontürü, e^it, ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ şeklinde parametrize edilebilen, 0 etrafındaki birim çember olsun. Değişken değiştirmeyle

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt}$

${\displaystyle =i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i}$

ifadesini buluruz. Burada, herhangi bir karmaşık z sayısının r, z 'nin modülüsü (mutlak değeri) olacak şekilde re^it olarak yazılabileceğini kullandık. Birim çember üzerinde r = 1 olduğu için geriye kalan tek değişken t ile gösterilen açı değişkenidir. Cevap, aynı zamanda Cauchy integral formülü ile de doğrulanabilir.

Bir vektör alanının integrali ile karmaşık çizgi integrali arasındaki ilişki

Karmaşık sayıları 2 boyutlu vektörler olarak alırsak, 2 boyutlu bir vektör alanının çizgi integrali, karşılık gelen karmaşık değerli karmaşık fonksiyonun eşleniğinin çizgi integralinin gerçel kısmına denk gelir. Daha ayrıntılı bir şekilde, ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} }$ ve ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ ise, o zaman sağ taraftaki her iki integral de var olduğu ve C 'nin ${\displaystyle z(t)}$ parametrizasyonu ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ile aynı yönde olduğu sürece

${\displaystyle \int _{C}{\overline {f(z)}}\,dz=\int _{C}(u-iv)\,dz=\int _{C}(u\mathbf {i} +v\mathbf {j} )\cdot d\mathbf {r} -i\int _{C}(u\mathbf {i} -v\mathbf {j} )\cdot d\mathbf {r} }$

eşitliği elde edilir.

Cauchy-Riemann denklemleri sebebiyle, bir holomorf fonksiyonun eşleniğine karşılık gelen bir vektör alanının körlü sıfırdır. Bu da her iki tip integralin de sıfır olduğu Stokes teoremi ile ilişkilidir.

Ayrıca, çizgi integrali değişken değiştirme kullanılarak da değerlendirilebilir.

Ayrıca bakınız

• Diverjans teoremi
• Green teoremi
• Kontür integrali metotları
• Nachbin teoremi
• Stokes teoremi
• Yüzey integrali
• Hacim integrali
• Fonksiyonel integral

Dış bağlantılar

• PlanetMath'de yol integrali
• Yol integralinin resimsel bir anlatımı
• Kontür İntegralleri Modülü, John H. Mathews tarafından