Çokkatlı

Çokkatlı (Alm. Mannigfaltigkeit, İng. manifold, Fr. variété), topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, bir çokkatlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çokkatlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

n boyutlu Öklit uzayı (Rⁿ), n boyutlu bir çokkatlıdır. Birkaç nokta, 0 boyutlu bir çokkatlıdır. Düzlemde bir doğru 1 boyutlu bir çokkatlıdır; her noktasının çevresi R¹'e benzer. R³'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu çokkatlı örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R²'ye benzer.

Sözcüğün kökeni

Çokkatlı sözcüğünün Almanca karşılığı Mannigfaltigkeit'tir (çokyönlülük, çeşitlilik vs.). Bu terim, ilk kez Riemann'ın doçentlik tezinde (Habilitation, 1854) kullanmıştır. Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen, ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tür bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir. Doçentlik tezinde şu satırlar dikkat çekmektedir: ^[1]

“	[...] n katlı uzamın (n-fold extent) bir noktasındaki eğriliğine kavranabilir bir anlam verebilmek için şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yönü verildiğinde tek bir biçimde tarif edilmiş olur. Buna göre, o noktadan ve verilen yüzey-yönleriyle başlayan tüm jeodezikler gözönüne alındığında, yüzeyin o noktasında bir eğrilik belirlenmiş olur. Bu eğrilik, aynı zamanda içinde bulunulan n katlı sürekliliğin (n-fold continuum) o noktada o yüzey yönünde eğriliğidir. Uzaya uyarlamadan önce, düz çokkatlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor[...] Düz bir n katlı uzamda toplam eğrilik her noktada her yönde sıfırdır[...] Eğriliği tamamen sıfır olan çokkatlılar, eğriliği sabit olan çokkatlıların özel bir durumu diye düşünülebilir[...]	”

Görüldüğü gibi Riemann, bu terimi tanımlarken daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu. Kullandığı -faltig eki, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına işaret ediyordu. William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan tercümesinde bu kelime "manifoldness" olarak karşılamıştır. ^[2] Türkçeye çeviri bu sözcük üzerinden yapılmıştır.

Fransızca variété terimi ise (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik çokkatlılara işaret eder.

Matematiksel tanım

(Kenarı olmayan) n boyutlu çokkatlı, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:

• Hausdorff'tur;
• Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rⁿ'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
• (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
• (Kimi tanımlarda) Parakompakttır.

Yukarıdaki tanımda ikinci koşulda Rⁿ yerine, üst yarı Öklit uzayını (yani Rⁿ'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hⁿ konduğunda, bu tanım, kenarı olan (kenarlı) topolojik bir çokkatlı tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için Hⁿ üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak Rⁿ'den tetiklenen topolojidir. M çokkatlısının bir noktası x, Hⁿ'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun. Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına çokkatlının kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine çokkatlının kenarı denir.

Örneğin, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım. Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir çokkatlıdır. Kenarı bir çemberdir. Çember 1 boyutlu bir çokkatlıdır. Kenarı yoktur.

n boyutlu, kenarlı bir çokkatlının kenarı, n-1 boyutlu bir çokkatlıdır. Bir çokkatlının kenarının kenarı yoktur (boşkümedir).

Bir çokkatlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir çokkatlıysa, bu altuzaya altçokkatlı denir. Yukarıda bir çokkatlının içinde verilen tüm çokkatlılar altçokkatlı örnekleridir.

Kaynaklar

1. "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. (Habilitationsschrift, 1854)". EMIS, The European Mathematical Information Service. 9 Nisan 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160409103543/http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf. 
2. Clifford, W.K. (1968 (1881 ilk baskısının yeniden basımı)). Mathematical Papers. Chelsea Publishing Co., New York. 

Okuma

• Gray, Jeremy (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer. 978-1-84628-632-2.