Ön-Lie cebiri

Matematik te, 'ön-Lie cebiri' köklü ağaçlar ve ilgin uzay üzerinde vektör alanları gibi nesnelerin bazı özelliklerini açıklayan bir vektör uzayı üzerinde bir cebirsel yapıdır . Ön-Lie cebir kavramı Cebirlerin deformasyonları üzerine eserinde Murray Gerstenhaber tarafından getirilmiştir.Bir sol-simetrik , sağ-simetrik veya Vinberg cebiridirler verebiliriz aralarında önceden Lie cebiri, diğer bazı isimler altında kabul edilmiştir.

Tanımı

Bir ön-Lie cebiri ${\displaystyle (V,\triangleleft )}$, çift doğrusal harita ${\displaystyle \triangleleft :V\otimes V\to V}$ ile ${\displaystyle V}$ bir vektör uzayı arasındaki ilişkiyi karşılar ${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft y-x\triangleleft (z\triangleleft y).}$

Bu kimlik, ${\displaystyle y}$ ve ${\displaystyle z}$ iki değişkenin değişimi altında asosiyatör ${\displaystyle (x,y,z)=(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)}$ değişmezliği olarak görülebilir.Her birleşmeli cebir asosiyatör aynı kayboluyor bundan dolayı aynı zamanda bir ön-Lie cebiridir.

Örnekler

• ilgin uzay üzerinde Vektör alanları

Biz ${\displaystyle f(x)\partial _{x}}$ ile gösterelim eğer vektör alanı ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$, ve biz ${\displaystyle f(x)\triangleleft g(x)=f'(x)g(x)}$ olarak ${\displaystyle \triangleleft }$ tanımlıyoruz, bizim operatör ${\displaystyle \triangleleft }$'nın ${\displaystyle f(x)\partial _{x}}$ alanına ${\displaystyle g(x)\partial _{x}}$ alanının tam uygulaması olduğunu görebilirsiniz..

${\displaystyle (g(x)\partial _{x})(f(x)\partial _{x})=g(x)\partial _{x}f(x)\partial _{x}=g(x)f'(x)\partial _{x}}$

Biz eğer ${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft z}$ ve ${\displaystyle x\triangleleft (y\triangleleft z)}$ arasında çalışırsak ${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)=(x'y)'z-x'y'z=x'y'zx''yz-z'y'z=x''yz}$ elde ederiz bu y ve z üzerinde simetriktir.

• Köklü ağaçlar

Diyelimki ${\displaystyle \mathbb {T} }$ tüm köklü ağaçlar tarafından gerilmiş vektör uzayı olsun. Bir aşağıdaki gibi ${\displaystyle \mathbb {T} }$ üzerinde bir çiftdoğrusal çarpım ${\displaystyle \curvearrowleft }$ tanıtabilirsiniz.Diyelimki${\displaystyle \tau _{1}}$ ve ${\displaystyle \tau _{2}}$ iki köklü ağaç olsun. ${\displaystyle \tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {Vertices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$ burada ${\displaystyle \tau _{1}}$ ve ${\displaystyle \tau _{2}}$ ayrık birleşimine ekleyerek elde köklü ağacıdır.giden bir kenar ${\displaystyle \tau _{2}}$'ın kök tepesine ${\displaystyle \tau _{1}}$'ın ${\displaystyle s}$ tepesinden giden köşedir

Sonra ${\displaystyle (\mathbb {T} ,\curvearrowleft )}$ bir üreteç üzerinde serbest ön Lie cebiridir.

Kaynakça

• Chapoton, F.; Livernet, M. (2001), "Pre-Lie algebras and the rooted trees operad", International Mathematics Research Notices 8 (8): 395–408, DOI:10.1155/S1073792801000198, MR 1827084 .
• Szczesny, M. (2010), Pre-Lie algebras and incidence categories of colored rooted trees, 1007, ss. 4784, arXiv:1007.4784, Bibcode 2010arXiv1007.4784S .