Adomian bozunma metodu

Adomian bozunma metodu (ADM) adi ve kısmi doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümü için bir yarı-analitiksel metodtur.George Adomian tarafından 1970'den 1990'a kadar geliştirilmiş idi Georgia Üniversitesi'nde uygulamalı Matematikte Merkezin başkanı idi .^[1] Bu Ito integrali kullanılarak stokastik sistemlere kadar genişletilebilir.^[2] Bu metodun amacı Kısmi diferansiyel denklemin (PDE) çözümü için birleştirilmiştir bir teori yolunda; bu amaç homotopi analiz metodunun daha genel teorisi tarafından iptal edilmiş idi.^[3] "Adomian polinom"unun çalışma metodunun önemli yönü denklemin doğrusal olmayan kısmı yakınsak çözüm için izin veren basit doğrusallaştırılmış sistem dışında olmasıdır. Bu polinom matematiksel bir keyfi dış parametre ile bir Maclaurin serisine genelleştirilebilir; bu direkt Taylor serisi açılımından daha esnek bir çözüm metodu verir.^[4]

Adi diferensiyel denklemler

Adomian metodu Cauchy probleminin çözümüne uygundur, problemler sınır durumu içeren bu problemlerin önemli bir sınıfıdır .

Bir birinci dereceden doğrusal olmayan sisteme uygulamalar

Bir Adi Diferansiyel Denklem için sınır durum probleminin bir örneği aşağıdadır:

${\displaystyle y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,}$

${\displaystyle y(0)=0.}$

problemin çözümüne,yüksek dereceli diferansiyel işlemci (L olarak yazılır) sol taraf üzerinde tutulan aşağıdaki yol içindedir:

${\displaystyle Ly=-1-y^{2},}$

ile L = d/dt ve ${\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t}()}$. Şimdi çözüm varsayalım katkının bir sonsuz serisi olsun:

${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}$

önceki bağıntı içinde yerine koymayla:

${\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].}$

elde ederiz Şimdi sağ üzerinde bazı açık bağıntılar ile y₀ denkliğimiz i den düşük derecenin terimlerini içeren sağdaki bazı terimler ile i = 1, 2, 3, ...,.ve y_i,dir örnek için:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{-1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{-1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{-1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{aligned}}}$

Bu yol içinde, herhangi katılım herhangi derecedende açıkça hesaplanabilir. Bizim ilk dört terimler çerçevesinde, yaklaşıklığımız şudur:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

Blasius denklemine uygulama

Bir ikinci örnek,bazı karmaşık sınır durumları ile bir sınır katman içinde bir akış için Blasius Denklemidir:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0}$

Sınırları aşağıdaki koşullarla:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}}$

şimdi doğrusal ve doğrusal-olmayan operatörler denir,sırasıyla ${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ ve ${\displaystyle Nu={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}}$. ise:

${\displaystyle Lu+Nu=0}$

bağıntısı alınır ve,bu durumda aşağıdaki basit yol içinde çözüm bağıntılanabilir:

${\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu}$

burada: ${\displaystyle L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)}$ eğer:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}}$

ve:

${\displaystyle {\begin{aligned}&u^{0}&=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\&u^{1}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{-1}A_{0}\\&u^{2}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{-1}A_{1}\\&u^{3}&=&-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{-1}A_{2}\\&&\cdots &\end{aligned}}}$

Doğrusal olmayan terimi doğrusal hale Adomian polinomları aşağıdaki kural kullanılarak sistematik olarak elde edilebilir:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},}$

burada: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}}$ Sınır koşullarının her bir yaklaşım sonunda, genel olarak, uygulanması gerekir. Bu durumda, entegrasyon sabitleri üç defa bağımsız sabit toplanabilmelidir .Ancak, örnek olarak, üç sabitler yukarıdaki resmi çözüm içinde gösterilen biçimde baştan gruplandırılmış görünür.İlk iki sınır koşullarını uygulayarak sonra biz sözde Blasius serisini elde ederiz:

${\displaystyle u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots }$

γ elde etmek için bizim ∞ da sınır durum uygulaması var, bu bir Padé yaklaşığı olarak seriler yazılması ile yapılabilir:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}$

burada L = M.Bu bağıntı $\infty$ nında limiti a_L/b_M dir.

Eğer b₀ = 1 seçersek,b katsayıları için M doğrusal denklemleri elde ederiz:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}$

ise, aşağıdaki dizinin vasıtasıyla katsayıları a elde edebiliriz:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}}$

bizim örnek içinde:

${\displaystyle u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)}$

bu eğer γ = 0.0408 alınırsa:

${\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}$

limit ile:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.}$

Bu (sınır durum (3)den ) 4/1000 in bir kesinliği ile 1'e eşit yaklaşıklıktır .

Kısmi Diferansiyel Denklemler

Doğrusal olmayan bir dörtgene uygulamalar

Fiziksel bilimlerde en sık sorunlardan biri dikdörtgen sınırında fonksiyonel bir değerler kümesini karşılayan (doğrusal veya doğrusal olmayan) kısmi diferansiyel denklemin çözümünü elde etmektir. Örneğin, bize şu sorunu ele alalım:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)}$

bir dikdörtgenin üzerinde tanımlanan aşağıdaki sınır koşulları ile:

${\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{ve}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}}$

${\displaystyle u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{ve}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}}$

Kısmi diferansiyel denklemin bu türü sıklıkla bilim ve mühendislikte başkaları ile birleştiğinde belirir. Örneğin, sıkıştırılamaz sıvı akışı probleminde, Navier-Stokes denklemleri baskısı bir Poisson denklemi ile paralel çözülmelidir.

Sistemin bozunması

Diyelimki problem (1) için aşağıdaki gösterimi kullanıyoruz:

${\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)}$

burada L_x, L_y çift türev işlemciler ve N bir doğrusal-olmayan işlemcidir.

(2)nin resmi çözümüdür:

${\displaystyle u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}$

Elimizdeki çözüm katkıları kümesi olarak şimdi u açılımı:

${\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }$

(3) ve sol tarafta katkıları ve aşağıdaki tekrarlanan düzeni sağ el taraftaki terimler arasında bir-bir yazışma yaparak ikame edilmesiyle:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}$

burada {a_n(y), b_n(y)} birleşimi denklem sisteminin çözümü aşağıdadır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}}$

burada ${\displaystyle \varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}}$ çözümüne n inci-derece yaklaşığı ve N u Adomian polinomları içinde sürekli açılımı var:

${\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}$

burada ${\displaystyle A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})}$ ve f(u) = u² örnek içinde (1).

C (ν, n) tekrarlı altsimgelerin sayısı faktöriyel ile bölünür n indisleri toplamı kadar u 'nun v bileşenlerinin çarpımıdır.(veya çarpımların toplamı) görünen tüm kombinasyonları er ya da geç kullanılmaktadır emin olmak için sistematik bir bozunma derecesi sadece başparmak kuraldır.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}$ bir genelleştirilmiş Taylor serisinin toplamına yaklaşık eşittir u₀.^[1]

örnek (1) için Adomian polinomları:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}}$

Diğer seçilen olasılık A_n ın bağıntıları için ayrıca olasıdır .

Bozunma metoduna iyileştirmeler

En az üç yöntem ^{[5] [6] [7]} koşulları {f₁, f₂} uygulanan herhangi bir yan dizi ile uyumlu olan sınır fonksiyonları g₁^*, g₂^* elde etmek için rapor edilmiştir.Bu olasılık,standart Adomian yöntemi adresi etmesi mümkün olmayan sorunlara geniş bir yelpazede çözüm sağlayan doğrulukta kapalı dikdörtgen üzerinde herhangi bir PDE sınır problemine analitik çözüm bulmaya kolaylık sağlar.

Birincisi, iki sınır x = 0 de uygulanan fonksiyonları ve y: p₁, p₂ bir N dereceden polinom ile x = x₁ (durum 1-a) bozulacaktır: f₁' = f₁ + p₁, f₂' = f₂ + p₂, öyleki iki pertürbasyon fonksiyonunun norm sınırlarına ihtiyaç duyulan doğruluğu daha küçüktür.Bu p₁, p₂ polinom katsayıları c_i bir dizi, i = 1, ..., N. ile bağlı olarak Sonra c_i, i = 1, ..., N grubu ile bağlı dört sınırlarında Adomian yöntemi uygulanır ve fonksiyonlar elde edilir. Son olarak, sınır fonksiyonu F(c₁, c₂, ..., c_N) bu dört fonksiyonların toplamı ve F(c₁, c₂, ..., c_N) arasındaki mesafe gibi tanımlanmıştır ve gerçek sınır işlevleri ((1-a) ve (1-b)), en aza indirilmiştir.Sorun fonksiyon F(c₁, c₂, ..., c_N)nin küresel aza indirilmesi için bu şekilde azaltma yapılmıştır. Parametreler c_i, i = 1, ..., N. bir bileşimi için küresel bir minimuma sahiptir.Bu, en az bir genetik algoritma ile ya da Cherruault (1999) tarafından önerilmiş olan başka bir optimizasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.^[8]

Başlangıç-sınır problemlerinin analitik yaklaşımını elde etmek için ikinci bir yöntem spektral yöntemlerle Adomian ayrışmasını birleştirmektir.^[6]

Son olarak, Garcia-Olivares önerdiği üçüncü yöntem dört sınırlarında analitik çözümler etkileyicidir, ancak yalnızca sınırlar yakınında, dar bir bölgede orijinal farklı olduğu bir yol içinde orijinal diferansiyel operatör modifiye göre ve bu dört sınırlarında tam analitik koşulları karşılamak için çözümü zorlar.^[7]

Galeri

Kaynakça

1. Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers. 
2. Adomian, G. (1986). Nonlinear Stochastic Operator Equations. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-12-044375-9. 
3. Liao, S.J. (2012), Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equation, Berlin & Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3642251313 
4. Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Higher Education Press. s. 15. ISBN 90-5809-369-7. 
5. García-Olivares, A. (2003), "Analytic solution of partial differential equations with Adomian's decomposition", Kybernetes (Bingley, U.K.: Emerald) 32: 354–368 
6. García-Olivares, A. (2002), "Analytical approximants of time-dependent partial differential equations with tau methods", Mathematics and Computers in Simulation (Amsterdam, Netherlands: Elsevier) 61: 35–45 
7. García-Olivares, A. (2003), "Analytical solution of nonlinear partial differential equations of physics", Kybernetes (Bingley, U.K.: Emerald) 32: 548–560  [DOI: 10.1108/03684920310463939]
8. Cherruault, Y. (1999). Optimization, Méthodes locales et globales. Presses Universitaires de France. ISBN 2-13-049910-4.