Aktif ve pasif dönüşüm

Koordinat sisteminin orijini hakkında θ bir açıyla saat yönünde çevirerek P için P' konumundan aktif dönüşüm (solda), bir noktaya hareket eder. Koordinat sistemi orijini θ bir açı ile saat yönünün tersine döner ise pasif dönüşüm (sağda), P noktası, hareket etmez.Aktif durumda P 'koordinatları döndürüldüğüne göre P koordinatları aynıdır koordinat sisteminde.

fizik ve mühendislik'te, bir aktif dönüşüm veyamazeret dönüşüm, bir dönüşümü aslında fiziksel bir noktanın veya katı cisim konumunu değiştirir,ve, hatta pasif dönüşüm ya da takma dönüşüm ise bir koordinat sistemi olmadığı durumlarda mantıklıdır Nesnenin koordinat sisteminin konumununda (bazında değişiklik) ile bir değişiklik görülmektedir Varsayılan,dönüşüm ile genellikle matematikçi ler anlamına , aktif dönüşümleri ise fizikçi ler ve mühendis ler anlamına gelebilir. ve, hatta pasif dönüşüm ya da takma dönüşüm ise bir koordinat sistemi olmadığı durumlarda mantıklı

Diğer bir deyişle, bir pasif dönüşümü iki farklı koordinat sistemlerinden aynı olayın gözlemini ifade eder.^[1] Diğer yandan, etkin dönüşümü aynı koordinat sistemine göre tüm noktaların yeni bir pozisyon vardır. Örneğin, aktif bir dönüşüm katı cisim'in, ardışık pozisyonlarda tanımlamak için yararlıdır. Öte yandan, pasif dönüşümü, femur ile birlikte hareket eden bir (yerel) koordinat sistemine göre hareketi, yani femur yerine tibia göreli hareketini izlemek için, insan hareket analizinde yararlı olabilir (global) koordinat sistemi yere sabitlenir.^[1]

Örnekler

Bir örnek olarak, vektör uzayında ℝ², diyelimki {e₁,e₂} be bir taban olarak, ve vektör düşünün v = v¹e₁ + v²e₂. Açı θ ile bir dönme matrisi ile verilir:

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$

Bir aktif dönüşüm olarak veya bir pasif dönüşüm aşağıda tarif edildiği gibi görülebilir.

Aktif dönüşümü

Etkin bir dönüşüm olarak, R v ye döner.Bu nedenle yeni bir vektör v' elde edilir.sabit koordinat sistemi ile ilgili olarak v dönme yönünün tersi için :

${\displaystyle \mathbf {v'} =R\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}.}$

Eğer bir izleme{Re₁,Re₂} yeni birtaban olarak, ise yeni vektörün koordinatları v′ Yeni bazda olanlar orijinal bazda v olanlar ile aynıdır .Aktif dönüşümlerin bile farklı bir vektör uzayında bir lineer dönüşüm olarak mantıklı olduğunu unutmayın.

Pasif dönüşüm

Öte yandan, ne zaman v taban vektörleri döndürülür ise bir izlemeR pasif bir dönüşüm vektörü olarak değişmeden kalır. vektörün sabit kalması için, yeni bir taban açısından koordinatları değiştirmek gerekir. Koordinat sistemleri arasında dönme yönünün tersi için

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{a}\mathbf {e} _{a}=v'^{a}R\mathbf {e} _{a}.}$

Bu denklemden görülen yeni koordinatlar ( yani,yeni bir taban ile ilgili koordinatları) aşağıdaki ile verilmektedir

${\displaystyle v'^{a}=(R^{-1})_{b}^{a}v^{b}}$

Böylece

${\displaystyle \mathbf {v} =v'^{a}\mathbf {e} '_{a}=v^{b}(R^{-1})_{b}^{a}R_{a}^{c}\mathbf {e} _{c}=v^{b}\mathbf {e} _{b}.}$

Bu nedenle, pasif dönüşümü ile vektörün değişmeden kalmasını için vektör koordinatlarını Etkin dönüştürme amacıyla,operatörün tersine göre dönüştürmek gerekir.^[2]

Ayrıca bakınız

• Taban değiştirme
• Vektörlerin eşdeğişken ve karşıtdeğişkeni

Kaynakça

1. Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 The active interpretation and the active transformation". Robots and screw theory: applications of kinematics and statics to robotics. Oxford University Press. s. 74 ff. ISBN 0-19-856245-4. http://books.google.com/books?id=OQq67Tr7D0cC&pg=PA74. 
2. Isaac Amidror (2007). "Appendix D: Remark D.12". The theory of the Moiré phenomenon: Aperiodic layers. Springer. s. 346. ISBN 1-4020-5457-2. http://books.google.com/books?id=Z_QRomE5g3QC&pg=PT361. 

• Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 84, Addison-Wesley.

Dış bağlantılar

• UI ambiguity