Altın üçgen

Bir altın üçgen. Kenarların birbirine bölümü altın oran φ'ye eşittir.

Altın üçgen, eş kenarlarının diğer kenara oranı φ'ye, altın oran, eşit olan ikizkenar üçgen.

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.}$

Altın üçgenlere dodekahedronlarda, ikozahedronlarda ve ayrıca pentegramlarda rastlanabilir.

Üçgenin tepe açısı

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.}$

İç açılar toplamı 180° olacağından, taban açıları eşit ve 72°'dir.^[1] Altın üçgen bir ongende, birbirine takip eden iki köşeyi merkeze birleştirerek de oluşturulabilir. Çünkü bu durumda ongenin 180x(10-2)/10=144 derecelik iç açısı, merkeze çizilen doğruyla ikiye bölünecek ve 144/2=72'lik taban açılarına sahip altın üçgen oluşacaktır.^[1]

Altın üçgen, iç açıları 2:2:1 ile orantılı tek üçgendir.^[2]

Logaritmik spiral

Logaritmik spiralle çevrelenmiş altın üçgenler

Altın üçgenle logaritmik spiral elde edilebilir. Taban açılarının açıortayları çizilirse, oluşacak kesişim noktasıyla beraber, yeni bir altın üçgen oluşur.^[3] Bu adım sonsuz defa tekrarlanırsa sonsuz sayıda altın üçgen ortaya çıkar. Bu üçgenlerin köşelerinden geçecek şekilde bir logaritmik spiral çizilebilir. Spiral, Rene Descartes tarafından adlandırıldığı şekliyle, eşaçılı spiral olarak da bilinir.^[4]

Sanatta altın üçgen

Bülent Atalay, Matematik ve Mona Lisa adlı kitabında Mona Lisa'da altın üçgenlerin görülebileceğini belirtmiştir.^[5]

Ayrıca bakınız

• Kepler üçgeni
• Altın oran
• Altın dikdörtgen
• Pentagram

Dış bağlantılar

• Altın üçgen maddesi Wolfram MathWorld (İngilizce)

Kaynakça

1. Elam, Kimberly (2001). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-568-98249-6. http://www.amazon.com/Geometry-Design-Studies-Proportion-Composition/dp/1568982496/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1288121120&sr=1-1. 
2. Tilings Encyclopedia. 1970. http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/robinson_triangle. 
3. Huntley, H.E. (1970). The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. New York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3. http://www.amazon.com/Divine-Proportion-H-Huntley/dp/0486222543. 
4. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. http://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ. 
5. Atalay, Bulent (2004). Matematik ve Mona Lisa: Leonardo da Vinci’nin Sanatı ve Bilimi. İstanbul: Albatros Kitap. ISBN 9759067064. http://kitap.antoloji.com/matematik-ve-mona-lisa-leonardo-da-vinci-nin-sanati-ve-bilimi-kitabi/.