Öklid teoremi

Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.

Öklid'in ispatı

Öklid, Elementler (IX. kitap, 20. ifade)^[1] adlı kitabında şöyle yazar:

Sonlu herhangi bir asal sayı listesi p ₁, p₂, ..., p_n olsun. Bu listede olmayan en az bir ilave asal sayının mevcudiyeti ispat edilecektir. P, listedeki bütün asal sayıların çarpımı olsun: P = p₁p₂...p_n. q = P + 1 olsun. O zaman q ya asaldır, ya da asal değildir:

• Eğer q asalsa listedekine ilaveten en az bir asal sayı daha vardır.
• Eğer q asal değilse en az bir p asal çarpanı q 'yu böler. Eğer bu p çarpanı liste olsaydı P, listedeki bütün sayıların çarpımı olduğundan P 'yi bölerdi; fakat p, P + 1 = q'yu böler. Eğer p, P 'yi ve q 'yu bölerse p, bu iki sayının farkları da bölmelidir^[2] ki bu (P + 1) − P veya sadece  1'dir. Hiçbir asal sayı 1'i bölemediğinden bu bir çelişki olur ve böylece p listede olamaz. Bu da bu listenin dışında en az bir asal sayının mevcut olduğunu gösterir.

Bu teorem, her sonlu asal sayı listesi için bu listede olmayan başka bir asal sayının olduğunu, bu yüzden de sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispat eder.

Çoğu zaman Öklid'in bu çelişki yoluyla yaptığı iddiası hatalı olarak ileri sürülür. Buna göre rastgele sonlu bir asal sayı kümesi yerine bütün asalları veya en küçük n asalı ihtiva ettiği ileri sürülür.^[3] İspat, tamamıyla çelişkiye (olmayana ergi) dayamamasına, sadece sonlu sayıda asalın olduğunu farz etmemesine rağmen olmayana ergi içindedir: bu da listedeki asalların hiçbirisinin q'yu bölemeyeceği ifadesidir.

Bu sayfa, başka dilde bir Vikipedi'den çevrilmektedir. Siz de yardım etmek istiyorsanız veya çeviri yarıda kalmışsa, çalışmaya katılan kişilerle veya çeviri grubu ile iletişime geçip, sayfanın durumunu onlara sorabilirsiniz. Sayfanın geçmişine baktığınızda, sayfa üzerinde çalışma yapanları görebilirsiniz.

Euler'in ispatı

İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in ispatı, aritmetiğin temel teoremine, yani her tam sayının tek şekilde asal çarpanlara ayrılabileceği esasına dayanır. Eğer P, bütün asal sayıların kümesiyse Euler şunu yazmıştır:

${\displaystyle \prod _{p\in P}{\frac {1}{1-1/p}}=\prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}.}$

İlk eşitlik, çarpımın her terimindeki geometrik serinin formülüyle verilir. İkinci eşitlik bu çarpımı toplam üzerine dağıtır:

${\displaystyle \prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{2^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{3^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{5^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{7^{k}}}\times \cdots =\sum _{k,l,m,n,\cdots \geq 0}{\frac {1}{2^{k}3^{l}5^{m}7^{n}\cdots }}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$

Sonuçta her asal çarpımı tam olarak bir kere vardır ve aritmetiğin in the result, every product of primes appears exactly once and so by the fundamental theorem of arithmetic the sum is equal to the sum over all integers.

The sum on the right is the harmonic series, which diverges. Thus the product on the left must also diverge. Since each term of the product is finite, the number of terms must be infinite; therefore, there is an infinite number of primes.

Erdős'ün ispatı

Paul Erdős gave a third proof that also relies on the fundamental theorem of arithmetic. First note that every integer n can be uniquely written as

${\displaystyle rs^{2}}$

where r is square-free, or not divisible by any square numbers (let s² be the largest square number that divides n and then let r = n/s²). Now suppose that there are only finitely many prime numbers and call the number of prime numbers k.

Fix a positive integer N and try to count the number of integers between 1 and N. Each of these numbers can be written as rs² where r is square-free and r and s² are both less than N. By the fundamental theorem of arithmetic, there are only 2^k square-free numbers r (see Combination#Number of k-combinations for all k) as each of the prime numbers factorizes r at most once, and we must have s < √N. So the total number of integers less than N is at most 2^k√N; i.e.:

${\displaystyle 2^{k}{\sqrt {N}}\geq N.}$

Since this inequality does not hold for N sufficiently large, there must be infinitely many primes.

Furstenberg'in ispatı

In the 1950s, Hillel Furstenberg introduced a proof using point-set topology. See Furstenberg's proof of the infinitude of primes.

Son zamanlarda yapılan bâzı ispatlar

Pinasco

Juan Pablo Pinasco has written the following proof.^[4]

Let p₁, ..., p_N be the smallest N primes. Then by the inclusion–exclusion principle, the number of positive integers less than or equal to x that are divisible by one of those primes is

${\displaystyle {\begin{aligned}1+\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor -\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor &+\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor -\cdots \\&\cdots \pm (-1)^{N+1}\left\lfloor {\frac {x}{p_{1}\cdots p_{N}}}\right\rfloor .\qquad (1)\end{aligned}}}$

Dividing by x and letting x → ∞ gives

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{p_{i}}}-\sum _{i<j}{\frac {1}{p_{i}p_{j}}}+\sum _{i<j<k}{\frac {1}{p_{i}p_{j}p_{k}}}-\cdots \pm (-1)^{N+1}{\frac {1}{p_{1}\cdots p_{N}}}.\qquad (2)}$

This can be written as

${\displaystyle 1-\prod _{i=1}^{N}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\qquad (3)}$

If no other primes than p₁, ..., p_N exist, then the expression in (1) is equal to ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ and the expression in (2) is equal to 1, but clearly the epression in (3) exceeds 1. Therefore there must be more primes than  p₁, ..., p_N.

Whang

In 2010, Junho Peter Whang published the following proof by contradiction.^[5] Let k be any positive integer. Then according to de Polignac's formula (actually due to Legendre)

${\displaystyle k!=\prod _{p{\text{ prime}}}p^{f(p,k)}\,}$

where

${\displaystyle f(p,k)=\left\lfloor {\frac {k}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {k}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots .}$

${\displaystyle f(p,k)<{\frac {k}{p}}+{\frac {k}{p^{2}}}+\cdots ={\frac {k}{p-1}}\leq k.}$

But if only finitely many primes exist, then

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left(\prod _{p}p\right)^{k}}{k!}}=0,}$

(the numerator of the fraction would grow singly exponentially while by Stirling's approximation the denominator grows more quickly than singly exponentially), contradicting the fact that for each k the numerator is greater than or equal to the denominator.

π'nin irrasyonelliğini kullanan ispat

Representing the Leibniz formula for π as an Euler product gives^[6]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \;}$

The numerators of this product are the odd prime numbers, and each denominator is the multiple of four nearest to the numerator.

If there were finitely many primes this formula would show that π is a rational number whose denominator is the product of all multiples of 4 that are one more or less than a prime number, contradicting the fact that π is actually irrational.

Faktöriyelleri kullanan ispat

Assume that the number of prime numbers is finite. There is thus an integer, p which is the largest prime.

p! (p-factorial) is divisible by every integer from 2 to p, as it is the product of all of them. Hence, p! + 1 is not divisible by every integer from 2 to p (it gives a remainder of 1 when divided by each). p! + 1 is therefore either prime or is divisible by a prime larger than p.

This contradicts the assumption that p is the largest prime. The conclusion is that the number of primes is infinite.^[7]

Kaynaklar ve notlar

1. James Williamson (translator and commentator), The Elements of Euclid, With Dissertations, Clarendon Press, Oxford, 1782, page 63.
2. Genelde herhangi a, b, c tam sayıları için ${\displaystyle a\mid b}$ and ${\displaystyle a\mid c}$ ise ${\displaystyle a\mid (b-c)}$'dir. Daha fazla bilgi için bölünebilme kurallarına bakınız.
3. Michael Hardy ve Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer, cilt 31, sayı 4, 2009 sonbaharı, 44–52 sayfa.
4. Juan Pablo Pinasco, "New Proofs of Euclid's and Euler's theorems", American Mathematical Monthly, volume 116, number 2, February, 2009, pages 172–173.
5. Junho Peter Whang, "Another Proof of the Infinitude of the Prime Numbers", American Mathematical Monthly, volume 117, number 2, February 2010, page 181.
6. Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, ss. 214, ISBN 9781848165267, http://books.google.com/books?id=K2liU-SHl6EC&pg=PA214 .
7. Further Pure Mathematics, L Bostock, F S Chandler and C P Rourke

Ayrıca bakınız

• Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
• Prime number theorem

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Euclid's Theorem (MathWorld)
• Euclid's Elements, Book IX, Prop. 20 (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)