Bağlantı (karma demet)

Karma demet $Y\to \Sigma \to X$ simetri kırılması ile ölçek teorisi içinde önemli bir rol oynar,örneğin, ölçü gravitasyon teorisi, Otonom olmayan mekanik burada $X=\mathbb R$ zaman eksenidir., yani,zaman-bağımlı parametrelerle mekanik, vb. Burada lif demetleri $Y\to X$, $Y\to \Sigma$ ve $\Sigma\to X$ üzerinde bağlantılar arasındaki ilişkiler önemlidir .

Karma demet

diferansiyel geometride bir karma demet ile bileşim anlamına

$\pi: Y\to \Sigma\to X \qquad\qquad (1)$

$\pi_{Y\Sigma}: Y\to\Sigma, \qquad \pi_{\Sigma X}: \Sigma\to X.$

lif demetlerinin Bu demet koordinatları $(x^\lambda,\sigma^m,y^i)$ ile sağlanır, burada $(x^\lambda,\sigma^m)$ bir $\Sigma\to X$ lif demeti üzerinde koordinatlardır ,yani $\sigma^m$ koordinatlarının geçiş fonksiyonları bağımsız $y^i$ koordinatlarınındır.

Aşağıda gerçek karma demetlerinin yukarıda belirtilen fiziksel uygulamaları sağlanmaktadır. karma demet göz önüne alındığında (1), $h$

$\Sigma\to X$ eğer varsa bir lif demetinin küresel bir bölüm olmasına izin verir.geri çekme demeti ise

$X$ üzerinde $Y^h=h^*Y$ bir $Y\to X$ lif demetinin bir alt demetidir.

Karma temel demet

Örneğin , diyelimki $P\to X$ bir temel demet olsun, bir $G$ Lie grup yapısı ile bu bir kapalı altgrup $H$ için indirgenebilirdir. Burada bir karma demet $P\to P/H\to X$ ve burada $P\to P/H$ bir temel demet ile bir yapı grubu $H$ ve $P/H\to X$ bir lif demeti $P\to X$ ile ilişkilidir. Verilen $P/H\to X$ nin bir global kesiti $h$ dir,geri çekme demeti $h^*P$ bir $H$ yapı grubu ile bir $P$ nin indirgenmiş temel altdemetidir.ölçü teorisinde, $P/H\to X$nin kesiti klasik Higgs alanları olarak işlenir.

Bileşik demetinin jet manifoldları

Verilen karma demet $Y\to \Sigma\to X$ (1),diyelimki $J^1\Sigma$, $J^1_\Sigma Y$ jet manifoldlardır, ve sırasıyla$\Sigma\to X$nin lif demetleri $J^1Y$, $Y\to \Sigma$, ve $Y\to X$, düşünüyoruz.Bunlar uyarlanmış $( x^\lambda,\sigma^m, \sigma^m_\lambda)$, $(x^\lambda, \sigma^m, y^i, \widehat y^i_\lambda, y^i_m),$, ve $(x^\lambda, \sigma^m, y^i, \sigma^m_\lambda ,y^i_\lambda).$ koordinatlar ile sağlanır

kurallı eşlemesi vardır

$J^1\Sigma\times_\Sigma J^1_\Sigma Y\to_Y J^1Y, \qquad y^i_\lambda=y^i_m \sigma^m_\lambda +\widehat y^i_\lambda$.

Karma bağlantı

Bu kanonik lif demetine bağlantılar arasında ilişkileri $Y\to X$, $Y\to\Sigma$ ve $\Sigma\to X$ tanımlar.Bu bağlantılar ilgili tanjant değerli bağlantı formları tarafından verilmektedir.

$\gamma=dx^\lambda\otimes (\partial_\lambda +\gamma_\lambda^m\partial_m + \gamma_\lambda^i\partial_i),$

$A_\Sigma=dx^\lambda\otimes (\partial_\lambda + A_\lambda^i\partial_i) +d\sigma^m\otimes (\partial_m + A_m^i\partial_i),$

$\Gamma=dx^\lambda\otimes (\partial_\lambda + \Gamma_\lambda^m\partial_m).$

bir lif demeti $Y\to\Sigma$ üzerinde bir bağlantı $A_\Sigma$

ve bir lif demeti $\Sigma\to X$ üzerinde bir bağlantı

bir karma demet $Y\to X$ üzerinde $\Gamma$ bir bağlantı tanımlanıyor.

$\gamma=dx^\lambda\otimes (\partial_\lambda +\Gamma_\lambda^m\partial_m + (A_\lambda^i + A_m^i\Gamma_\lambda^m)\partial_i)$

Buna karma bağlantı denir.Bu böylece $\Gamma$ bağlantısının aracılığıyla $\Sigma$ üzerinde $\tau$ nun yatay kaymalarının $A_\Sigma(\Gamma\tau)$ düzeni ile çakışma $\gamma$ karma bağlantının aracılığıyla $X$ üzerinde bir vektör alanı $\tau$ nun $Y$ üzerinde yatay kaldırma $\gamma\tau$ ve bir $A_\Sigma$ bağlantısının aracılığıyla $Y$ üzerinde ise bir teklik bağlantısıdır.

Dikey eşdeğişken diferansiyel

Verilen karma demet $Y$ (1), burada $Y$ üzerinde vektör demetlerinin tam dizisi aşağıdadır:

$0\to V_\Sigma Y\to VY\to Y\times_\Sigma V\Sigma\to 0, \qquad\qquad (2)$

burada $V_\Sigma Y$ ve $V_\Sigma^*Y$ $Y\to\Sigma$nın dikey tanjant demet ve dikey kotanjant demetidir.Her bağlantı bir lif demeti $Y\to\Sigma$ üzerinde $A_\Sigma$ bölme verir

$A_\Sigma: TY\supset VY \ni \dot y^i\partial_i + \dot\sigma^m\partial_m \to (\dot y^i -A^i_m\dot\sigma^m)\partial_i$

tam dizisinin (2). Bu bölme kullanılarak, bir birinci dereceden diferansiyel işlemcinin oluşturulabilmesi

$\widetilde D: J^1Y\to T^*X\otimes_Y V_\Sigma Y, \qquad \widetilde D= dx^\lambda\otimes(y^i_\lambda- A^i_\lambda -A^i_m\sigma^m_\lambda)\partial_i,$

bir karma demet $Y\to X$ üzerinde. Buna dikey eşdeğişken diferansiyel denir.

Bu şu önemli özelliği sahiptir.

Diyelimki$h$ , $\Sigma\to X$ bir lif demetinin bir kesiti olsun, ve yine $h^*Y\subset Y$ ,$X$ üzerinde geriçekme demeti olsun. Her $A_\Sigma$ bağlantısı geriçekme bağlantısı uyarır

$A_h=dx^\lambda\otimes[\partial_\lambda+((A^i_m\circ h)\partial_\lambda h^m +(A\circ h)^i_\lambda)\partial_i]$

$h^*Y$ üzerinde ise $A_h$ geri çekme bağlantısı ile ilişkili $h^*Y$ üzerinde yakın eşdeğişken diferansiyel $D^{A_h}$ ile çakışan $J^1h^*Y\subset J^1Y$ için bir $\widetilde D$ dikey eşdeğişken diferansiyelin sınırlarıdır .

Kaynakça

• Saunders, D., The geometry of jet bundles. Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36948-7.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8.

Diş bağlantılar

• Sardanashvily, G., Advanced Differential Geometry for Theoreticians. Fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory, Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv: 0908.1886

Ayrıca bakınız

• Bağlantı (matematik)
• Connection (fibred manifold)