Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dizisinin binom dönüşümü (T)

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}}$

olarak tanımlanan ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ dizisidir.

${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$ yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}}$

Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

${\displaystyle TT=1}$

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}}$

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle \dots \,}$

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}}$

Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}$

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}}$

olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır (${\displaystyle (2n^{2}+n)3^{n-2}}$ tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (${\displaystyle n^{2}2^{n-1}}$ tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$

eşitliği sağlanmaktadır. Burada ${\displaystyle B_{n}}$ Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

ve

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)}$

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}}$

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$ hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}$

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. ${\displaystyle 0<x<1}$ sayısının sürekli kesir ifadesinin

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$

olduğu varsayılsın. Buradan

${\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$

ve

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev için

${\displaystyle {\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

ve

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x)}$

eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}$

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}$

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ ve ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan k-binom dönüşümü zaman zaman

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{k}a_{j}}$

biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{n-k}a_{j}}$

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}}$

olarak tanımlanır, bu ifade

${\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}}$

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}}$

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}}$

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}}$

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}}$

olarak yazılabilir. Burada ${\displaystyle \mathbf {E} }$ değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}}$

biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız

• Newton dizisi
• Hankel matrisi
• Möbius dönüşümü
• Stirling dönüşümü
• Euler toplamı

Kaynakça

• John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar

• Binom Dönüşümü