Cesàro toplaması

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Cesàro toplamı İtalyan çözümlemeci Ernesto Cesàro'nun (1859–1906) adını taşımaktadır.

Tanım

{a_n} bir dizi olmak kaydıyla

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$

ifadesinin

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

dizisinin k. kısmi toplamı olduğu varsayılsın.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots s_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {na_{1}+(n-1)a_{2}+\cdots 1a_{n}}{n}}=A}$

eşitliği sağlanıyorsa {a_n} dizisinin Cesàro toplamı A olur.

Örnekler

n ≥ 1 için a_n = (-1)ⁿ⁺¹ koşulunun sağlandığı varsayılsın. Bu durumda {a_n}

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$

dizisi biçiminde ifade edilebilir.

Böylece, kısmi toplamlar dizisi {s_n}

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }$

olur. Grandi dizisi olarak bilinen bu ifade yakınsamamaktadır. Öte yandan, {(s₁ + ... + s_n)/n} dizisinin terimleri

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$

biçiminde yazılabilir ve

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}$

eşitliği sağlanır. Bu, {a_n} dizisinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermektedir.

(C, α) toplamı

Ernesto Cesàro 1890 yılında geniş bir toplam yöntemleri ailesi tanımlamıştır. n sıfırdan büyük bir tamsayı olmak koşuluyla (C, n) biçiminde ifade edilen bu yöntemlerden (C, 0) olağan toplamayı, (C, 1) ise yukarıda tanımlanan Cesàro toplamını belirtmektedir.

Daha yüksek dereceli yöntemler şu biçimde tanımlanabilir: Bir Σa_n dizisi için

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$

büyüklükleri tanımlanır ve 1 + 0 + 0 + 0 + … dizisi için E_n^α, A_n^α değerine eşitlenir. Böylece, Σa_n'nin (C, α) toplamı

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

olarak hesaplanır.^[1] Bu tanım, ilk toplam yönteminin ${\displaystyle \alpha }$ kez yinelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

${\displaystyle (C,\alpha )-\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {n \choose j}{n+\alpha \choose j}}a_{j}}$

Daha genel anlamda, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus (-\mathbb {N} )}$ olmak koşuluyla A_n^α

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}}}$

dizisinin katsayılarından elde edilebiliyor ve E_n^α yukarıdaki gibi tanımlanıyorsa (gerçekte E_n^α, -1 - α üslü binom katsayılarını ifade etmektedir) Σ a_n'nin (C, α) toplamı yukarıdaki sonucu verir.

(C, α)'nın tanımlı oluşu daha üst düzey toplamların da var olduğunu göstermektedir. Ayrıca, α > -1 ise a_n = o(n^α) eşitliği de sağlanır.

Bir integralin Cesàro toplanabilirliği

α ≥ 0 olmak koşuluyla

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

tanımlı ise ${\displaystyle \scriptstyle {\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}}$ integralinin (C, α) toplamı tanımlı ve sonludur.^[2] Bu limit (tanımlıysa) integralin (C, α) toplamına eşittir. Dizi toplamına benzer biçimde, α=0 iken sonuç, belirsiz integralin yakınsaklığıdır. α=1 iken (C, 1) yakınsaklığı

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\int _{0}^{x}f(y)\,dy\right\}\,dx}$

limitine eşittir. Bu aynı zamanda kısmi integraller ortalamasının limitidir.

Bir integral herhangi bir α ≥ 0 değeri için (C,α) toplamına sahipse bu integralin (C,β) toplamı tüm β > α değerleri için tanımlıdır.

Ayrıca bakınız

• Abel toplamı
• Borel toplamı
• Euler toplamı
• Cesàro ortalaması
• Iraksak dizi
• Fejér kuramı
• Riesz ortalaması
• Abel ve Tauber kuramları
• Silverman-Toeplitz kuramı

Notlar

1. Shawyer, Bruce; Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. s. 16-17. ISBN 0-19-853585-6. 
2. Titchmarsh, E (1948). "§1.15". Introduction to the theory of Fourier integrals (2 bas.). New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co.. ISBN 978-0828403245. 

Kaynakça

• Volkov, I.I. (2001), "Cesàro summation methods", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/c/c021360.htm 
• Zygmund, Antoni (1968). Trigonometric series (2 bas.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521358859.