Chebyshev kesirli fonksiyonları

Bu yazı Eliptik filtrelerin tasarımı içinde kullanılan Chebyshev kesirli fonksiyonları hakkında değildir. Böyle fonksiyonlar için, Eliptik rasyonel fonkiyonlara bakınız.

n = 0, 1, 2, 3 ve 4 için 0.01 ve 100 arasında için x Chebyshev kesirli fonksiyonlarının çizimidir.

Matematikte,Chebyshev kesirli fonksiyonları bu fonksiyonların hem kesirli ve hem de ortogonal bir dizisidir. Bu isim Pafnuty Chebyshev anısınadır. Bir kesirli Chebyshev fonksiyonunun derecesi n olarak:

${\displaystyle R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)}$

burada ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ilk türün bir Chebyshev polinomsusudur.

Özellikler

Birçok özellik ilk türün Chebyshev polinomsularından elde edilebilir. Diğer özellikler fonsiyonların kendilerine tekliktir.

Yineleme

${\displaystyle R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1} }$

Diferansiyel denklemler

${\displaystyle (x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 2} }$

${\displaystyle (x+1)^{2}x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0}$

Ortogonalite

Yedinci derecenin (n = 7) mutlak değerinin x 0.01 ve 100 arasında Chebyshev kesirli fonksiyonları için çizimi. Burada unutmadan x = 1 'a kadar n sıfır simetrik olarak düzenlenmiş ve eğer x₀ bir sıfır ise,1/x₀ da bir sıfırdır.Maksimum değerle sıfır arasında birimdir.Tüm dereceler için bu özellikler tutar.

Tanım:

${\displaystyle \omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}$

Chebyshev Chebyshev kesirli fonksiyonların ortogonalitesi yazılabilir:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,dx={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}}$

Burada ${\displaystyle c_{n}}$ eşit 2 n = 0 ve ${\displaystyle c_{n}}$ eşit 1 için ${\displaystyle n\geq 1}$ ve ${\displaystyle \delta _{nm}}$ için Kronecker delta fonksiyonudur.

Bir keyfi fonksiyonun açılımı

Bir keyfi fonksiyon ${\displaystyle f(x)\in L_{\omega }^{2}}$ için ortogonalite ilişkililiği ${\displaystyle f(x)}$ açılımına kullanılabilir:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)}$

burada

${\displaystyle F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,dx.}$

Özel değerler

${\displaystyle R_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle R_{1}(x)={\frac {x-1}{x+1}}\,}$

${\displaystyle R_{2}(x)={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\,}$

${\displaystyle R_{3}(x)={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\,}$

${\displaystyle R_{4}(x)={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\,}$

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {1}{(x+1)^{n}}}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{2n \choose 2m}x^{n-m}\,}$

Kısmi kesirli açılım

${\displaystyle R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{n+m-1 \choose m}{n \choose m}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}}$

Kaynakça

• Ben-Yu, Guo; Jie, Shen; Zhong-Quing, Wang (2002). "Chebyshev rational spectral and pseudospectral methods on a semi-infinite interval" (PDF). Int. J. Numer. Meth. Engng 53: 65–84. DOI:10.1002/nme.392. http://www.math.purdue.edu/~shen/pub/GSW_IJNME02.pdf. Erişim tarihi: 2006-07-25.