Dirichlet çekirdeği
Matematiksel analizde, Dirichlet çekirdeği fonksiyonlarının koleksiyonudur
Peter Gustav Lejeune Dirichlet adına ithafen .
Fourier serisine ilişkisinden gelen Dirichlet çekirdeği önemlidir. 2π periyod'un herhangi bir f fonksiyonu ile Dn(x) nin evrişimi f 'e n inci-derece Fourier serisi yaklaşımıdır , yani ,
elde ederiz burada
f in k inci Fourier katsayılarıdır. Bu Fourier serilerinin yakınsaklığını incelemek için bu Dirichlet çekirdeğinin özelliklerini incelemenin yeterli olacağını ima eder.Özel önem aslında n → ∞ olarak sonsuza ıraksayan Dn nin normu L1 dir. Tek tahmin şudur
- .
Bu eksiklik tektip integrallebilirin Fourier serisi için birçok ıraksak fenomen altındadır. Örneğin,düzgün sınırlılık ilkesi ile birlikte, bir sürekli fonksiyonun Fourier serisi olduğunu göstermek için kullanılabilen noktasal yakınsama oldukça dramatik bir şekilde başarısız olabilir,. Daha ileri ayrıntı için Fourier serisinin yakınsamasına bakınız
Delta fonksiyona ilişki
Periyodik Dirac delta fonksiyonu alıyoruz, bu gerçekten bir fonksiyon değildir, Başka içine yerleştirilen bir eşleme anlamında, ama oldukça bir "genelleştirilmiş fonksiyon"dur ayrıca bir "dağılım" denir, ve 2π ile çarpımı ile,2π periyodunun fonksiyonları üzerinde evrişim için özdeş öge alıyoruz . Diğer bir değişle, elimizdeki
2π periyodun her f fonksiyonu içindir.Bu "fonksiyon"un Fourier serisi gösterimi
Dirichlet çekirdeği bunun için, bu serilerin sadece kısmi toplamının dizisidir, bir yaklaşık denklik olarak düşünülebilir. Özetle bu her zaman pozitif ögelerin bir yaklaşık denkliği değildir (bu nedenle yukardaki mantık hatalıdır).
Trigonometrik denkliğin kanıtı
trigonometrik denklik
aşağıdaki gibi, bu makalenin üstünde görüntülenen tayin edilebilir. İlk olarak bir sonlu geometrik serilerin toplamı yerine konur
özel olarak,
elde ederiz
r−1/2 ile hem pay hem payda çarpılır,
alınıyor.Bu durumda r = eix
olarak gerekeni
elde ederiz
Trigonometrik denkliğin alternatif kanıtları
serisi ile başlarız.
ile yukardaki iki taraflı çarpım
ve trigonometrik denklik kullanılıyor
r.h.s.ye
- için indirgenir
Denkliğin çeşitleri
Eğer toplam yalnızca pozitif tamsayılar üzerinde (Bir DFT bu işlem sırasında ortaya çıkabilecek merkezli değildir), ise aynı tekniklerin aşağıda kullanıldığını görebiliriz:
Kaynakça
- Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Dirichlet kernel", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/d032880.htm
- Dirichlet-Kernel at PlanetMath