En (Lie algebra)

Dynkin diagrams

Finite
E3=A2A1	Şablon:Dynkin2
E4=A4	Şablon:Dynkin2
E5=D5	Şablon:Dynkin2
E6	Şablon:Dynkin2
E7	Şablon:Dynkin2
E8	Şablon:Dynkin2
Affine (Extended)
E9 or E8^(1) or E8^+	Şablon:Dynkin2
Hyperbolic (Over-extended)
E10 or E8^(1)^ or E8^++	Şablon:Dynkin2
Lorentzian (Very-extended)
E11 or E8^+++	Şablon:Dynkin2
Kac–Moody
E12 or E8^++++	Şablon:Dynkin2
...

matematikte, özellikle Lie teorisinde, E_n Kac–Moody cebiri ve böylece Dynkin diyagramı bir bifurkasyon grafı ile 1,2, ve k uzunluğunun k=n-4 ile üç dalıdır.

Bazı eski kitaplar ve sayfalarda,G₂ adı için E₂ ve E₄ ve F₄ kullanılıyor.

Lie cebirinin sonlu boyutları

E_n grubu A_n grubuna benzerdir,n.inci düğüm dışında 3.cü düğüme bağlantılıdır.Cartan matrisine benzer görünür, -1 yukarda ve aşağıda köşegen,for the son satır ve sütun dışında,üçüncü satır ve sütun içinde -1 var.E_n Cartan matrisinin determinant için 9-ndir.

• 11 boyutun A₁A₂ Lie cebiri için Cartan determinant 6 ile birlikte diğer ad E₃ tür

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• 24 boyutlunun A₄ Lie cebri için Cartan determinant 5 ile diger adı E₄ tür

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• 45 boyutlunun D₄ Lie cebri için Cartan determinant 4 ile diger adı E₅ tir.

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• E₆ 78 boyutlunun Cartan determinant 3 ile istisnai Lie cebiridir..

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• E₇ 133 boyutun Cartan determinant 2 ile istisnai Lie cebiridir .

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• E₈ 248, boyutun Cartan determinant 1 ile istisnai Lie cebiridir

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

sonlu boyutlu Lie cebiri

• E₉ sonlu boyutlu afin Lie cebiri için ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ diğer adıdır (ayrıca E₈⁺ olarak veya E₈⁽¹⁾ olarak genişletilmiş E₈ olarak ) (veya E8 kafes) E₈ tipinin Lie cebirine karşılık gelir . E₉ bir Cartan matris ile determinant 0 var.

  ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

• E₁₀ (veya E₈⁺⁺ veya E₈^{(1)^} aşırı-genişletilmiş E₈ bir (iki-düğüm)olarak ) olarak bir sonlu boyutlu Kac–Moody cebiri ve böylece kafes kökü 10 boyutlunun çift Lorentzyen unimodüler kafes II_9,1 idir.onun bazı hesaplanan çarpımlarının köklerine sahip ; küçük kökleri için çokluklar iyi bir seçim gibi görünüyor, ancak daha büyük kökleri için gözlemlenen desenler yıkılıyor. E₁₀in bir Cartan matris ile determinant -1'i var:
  • ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$
• E₁₁ (veya E₈⁺⁺⁺ çok-genişletilmiş bir (üç-düğüm) E₈ olarak) bir Lorentzyen cebir,bir zaman-gibi sanal boyut içerir, bu M-teorinin "grup" simerisi üretene sahip varsayımdır .
• n≥12 için E_n bir sonlu boyutlu Kac–Moody cebiri pek çalışılmamıştır.

Kafes kökü

E_n in kafesinin kökü determinant 9−n var, ve birimmodüler Lorentzyen kafes Z_n,1 içinde vektörlerin kafesi olarak inşa edilebilir n×1² − 3² = n − 9 normunun (1,1,1,1,....,1|3) vektörlerine ortogonaldir.

E7½

Landsberg ve Manivel tamsayı n için n = 7½ durumu içeriğine E_n in tanımını genişletti.E_n serisinin gösterimi için boyut formulü içinde "delik"leri doldurmak için Cvitanovic, Deligne, Cohen ve de Man tarafından gözlem yapıldı. E_7½ nin 190 boyutu vardı, ama bir basit Lie cebiri değildir:nilradikal olarak bir 57 boyutlu Heisenberg cebiri içerir .

Ayrıca bakınız

• k₂₁, 2_k1, 1_k2 E_n üzerinde politop tabanlı Lie cebiri

Kaynakça

• Kac, Victor G; Moody, R. V.; Wakimoto, M. (1988). "On E₁₀". Differential geometrical methods in theoretical physics (Como, 1987). NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.. 250. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.. s. 109–128. MR 981374 

Daha ileri okuma

• West, P. (2001). "E₁₁ and M Theory". Classical and Quantum Gravity 18 (21): 4443–4460. arXiv:hep-th/0104081. DOI:10.1088/0264-9381/18/21/305.  Class.Quant.Grav. 18 (2001) 4443-4460
• Gebert, R. W.; Nicolai, H. (1994). "E₁₀ for beginners". arΧiv: hep-th/9411188 [hep-th].  Guersey Memorial Conference Proceedings '94
• Landsberg, J. M. Manivel, L. The sextonions and E_7½. Adv. Math. 201 (2006), no. 1, 143-179.
• Connections between Kac-Moody algebras and M-theory, Paul P. Cook, 2006
• A class of Lorentzian Kac-Moody algebras, Matthias R. Gaberdiel, David I. Olive and Peter C. West, 2002