F-uzayı

fonksiyonel analizde, bir F-uzayı gerçek veya karmaşık sayılar ile birlikte bir metrik d : V × V → R üzerinde bir V vektör uzayı ve böylece

1. Skaler çarpım V içinde d sırasıyla sürekli ve R veya C üzerinde standard metriktir .
2. V içinde toplam d sırasıyla süreklidir.
3. metrik öteleme-değişmezdir; yani V içinde tüm x, y ve a için d(x + a, y + a) = d(x, y)
4. metrik uzayı (V, d) tamlıktır

bazı yazarlar Fréchet uzayının uzayları diyor, ama genellikle terim yerel dışbükey F-uzayları için kaynaktır. metrik olabilir veya bir F-uzayı üzerinde yapının parçası zorunlu olmayabilir; Birçok yazara göre, ancak böyle bir uzay yukarıda özellikleri karşılayacak bir şekilde metriklenebilir olmasını gerektirir.

Örnekler

Açıksası, tüm Banach uzayın ve Fréchet uzayın F-uzaylarıdır. Özel olarak, bir Banach uzayı bir F-uzayı ile bir toplamsal bu d(αx, 0) = |α|⋅d(x, 0) gerekir.^[1]

L^p uzayları F-uzayları tüm p > 0 için ve p ≥ 1 için bu yerel dışbükey ve böylece Fréchet uzayları ve çift Banach uzaylarıdır.

Örnek 1

${\displaystyle \scriptstyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$ bir F-uzayıdır. Hiçbir sürekli yarınormu ve süreksiz doğrusal fonksiyonelleri kabul etmez— onun önemsiz ikili uzayı var.

Örnek 2

Diyelimki ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ tüm karmaşık değerli Taylor serisinin uzayı olsun

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$

birim çember ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$ üzerinde böylece

${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|^{p}<\infty }$

ise (0 < p < 1 için) ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ p-norm altında F-uzayıdır:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}|a_{n}|^{p}\qquad (0<p<1)}$

Aslında, ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}}$ bir sözde-Banach cebri ve dahası,herhangi ${\displaystyle \scriptstyle \zeta }$ için ile ${\displaystyle \scriptstyle f\,\mapsto \,f(\zeta )}$ gönderme ile ${\displaystyle \scriptstyle |\zeta |\;\leq \;1}$ (çarpımsal fonksiyonel) ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ üzerinde doğrusal bir sınırdır.

Kaynakça

1. Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Kısım I: genel teori. Interscience publishers, inc., New York. p. 59

• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1