Frattini altgrubu

iki düzlemli grubu'nun alt grupların kafesi'nin Hasse diagramı'nın Dih₄

3-element katmanındaki maksimal alt kümeleridir;
onların kesişimi (F. s.) 5-element katmanındaki temel öğesidir.
Dih₄ e dışında tek olmayan üreten elemanı vardır.

matematik'te,bir G grubunun Φ(G) Frattini altgrubu Gnin bütün maksimal altguruplarının kesişimidir G için bu durum maksimal olmayan altgurupları için yoktur, örneğin önemsiz gurup e veya Prüfer grup, bu Φ(G) = G ile tanımlanır.Bu Jacobson kökü'ne benzer halkalar'ın teorisi içinde ve sezgisel "küçük elemanları" nin alt grubu olarak düşünülüyor olabilir("non-jeneratör" karakterizasyonu aşağıya bakınız). O Giovanni Frattini'ın adına ithafen 1885'deki bir yazıda tanımlanan bir kavramdır.

Bazı gerçekler

• Φ(G) G'nin bütün üreteç olmayan ve üreten ögesi olmayan kümesine eşittir.G nin Bir üretimi olmayan ögesi bir üreten kümesi'nden bir öge zaman çıkarılabilir bu ,G nin bir a ögesidir öyle ki her X is G üreten kümesinin içindeki a,bir üreten X − {a} ayrıca G nin bir üreten kümesidir
• Φ(G) her zaman G nin bir karakteristik altgurubu'dur; özel olarak,her zamanGnin bir normal altgurubu'dur
• Eğer G sonlu, ise Φ(G) sıfırın gücüdür.
• Eğer G p-grubu bir sonlu,ise Φ(G) = G^p [G,G]. Böylece Frattini altgurubu enküçük (eklenmesi ile ilgili) normal altgurup N öyle ki bölüm grubu G/N , yani,p 'nin yerine dönel grup'ların doğrudan toplamı'nın eşbiçim'ne bir temel değişmeli grup'tur.Dahası, bölüm gurubu G/Φ(G) ( Gnin Frattini bölümü denir) p^k,yerinedir ise k G üreteçlerin küçük sayıları içindir (bu G" için bir jeneratörün en küçük önem düzeyidir). özel olarak bir sonlu p-grubu ancak ve ancak döneldir bu Frattini bölümü döneldir(pnin yerine). Bir sonlu p-gurubu temel değişmelidir ancak ve ancak Frattini altgurubu önemsiz gurup'tur, Φ(G) = e.
• Eğer H ve K sonlu, ise Φ(HxK) = Φ(H)x Φ(K).

Bir örnek;bir grub ile önemsiz olmayan Frattini altgurubu dönel guruptur p²,nin yerine G burada p asaldır, a tarafından,üretilen demektir; burada, ${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$.

Ayrıca bakınız

• Fitting subgroup
• kaide

Kaynakça

• Hall, Marshall (1959). The theory of groups. New York, N.Y.: Macmillan.  (See Chapter 10, especially Section 10.4.)