Galois teorisi

Galois teorisi, n elemanın ornatlamasından doğan An alterne grubu, n > 4 olduğu zaman bir alt grup kabul etmeyen teorem.

Galois teorisinin önemi alan kuramı ve grup teorisi arasında bir köprü olmasıdır Bu teori, Fransız matematikçi Evariste Galois tarafından bulunmuştur, cebirsel denklemlerin teorisinde geçer.

Matematikte, özellikle soyut cebirde, Evariste Galois adını taşıyan Galois teorisi, alan kuramı ve grup teorisi arasında bir bağlantı sağlar. Galois teorisini kullanılarak, alan teorisinde bazı sorunlar bir anlamda basit ve daha anlaşılır grup teorisine, indirgenebilir. örneğin Kuantum alan kuramında gruplar vardır ve grup teorisiyle kuramın sorunları basit ve anlaşılabilir hale getirilebilir.

Başlangıçta, Galois verilen bir polinom denklemin çeşitli köklerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu açıklamak için permütasyon grupları kullanılır. Diğerleri arasında Richard Dedekind, Leopold Kronecker ve Emil Artin tarafından geliştirilen Galois teorisi, modern yaklaşımı, alan uzantılarının otomorfizmaları eğitimini içerir.

Galois Teoriden daha fazla soyut Galois bağlantılarının teorisi ile elde edilir.

Günümüzde Galois teorisi

Bu denklemin katsayılarını içine alan sayı sistemine denklemin tüm köklerini teker teker katarak sistemi büyüttüğümüzü düşünelim. Öte yandan tüm kökleri kendi arasında dönüştüren permütasyon grubu ve onun bazı kökleri sabit bırakan alt gruplarını düşünelim. Galois bu iki dünya arasında köprü kurar ve bir taraftaki kök bulma problemini, öbür tarafta bir grubun yapısını inceleme problemine dönüştürür. Görür ki, eğer bir tarafta kök bulunabiliyor ise öbür tarafta da grubun özel bir yapısı olması gerekir. Oysa bu özel yapının, derecesi dörtten büyük denklemelere karşılık gelen gruplarda, her zaman olmadığını tespit eder.

Sonuç olarak insanlığın iki bin yıldır aradığı kökler, basit cebirsel yöntemlerle bulunamaz. İşte Galois teorisinin basit bir özeti.

Galois teorisi için permutasyon grup yaklaşımı

Verilen bir polinomda,köklerin bazıları çeşitli cebrik denklemler ile bağlantılı olmalıdır. Örneğin, onun köklerinin ikisi için A ve B dersek bu A² + 5B³ = 7 olmalı. Galois teorisinin ana fikri köklerin sırası değiştirilmesi sonrası elde edilen köklerden yine elde edilen böyle permutasyonları (veya düzenlemeler) ele almaktır Bir önemli koşul cebirsel denklem katsayılarını kesirli sayılara kendimizi kısıtlamamız olmasıdır. ( ama bunun yerine katsayıları altında yatan o belirli alanı belirtmek gerekir aşağıdaki basit örneklerle, biz rasyonel sayılar alanına kendimizi kısıtlamış olacağız.) bir permutasyon grubu formu ile birlikte bu permutasyonlara, ayrıca polinomun (kesirli sayılar üzerinde)Galois grubu denir. bu nokta gösterimine,aşağıdaki örneklerle dikkat edersek:

İlk örnekler: bir karesel denklem

karesel denklem dikkate alındığında

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.\ }$

karesel formül kullanılması ile, biz iki kökü bulabiliriz

${\displaystyle A=2+{\sqrt {3}},}$

${\displaystyle B=2-{\sqrt {3}}.}$

A ve B içeren cebrik denklemlerin örneklerini karşılar

${\displaystyle A+B=4,\ }$

ve

${\displaystyle AB=1.\ }$

belli ki, bu denklemlerin içinde, A ve B yi değiştirirsek,diğer doğru durumu elde ederiz. örneğin, A + B = 4 denklemi basitçe B + A = 4 şeklini alır.Daha ötesi, bu is doğru, ama çok az belirgin, bu her olası uygun cebrik denklem için kesirli katsayılar A ve B değerleri ile yukarıda(gibi herhangi denklem içinde,Ave B takası ile diğer doğru denklem elde edilir).simetrik polinomların teorisi bunu sağlamak için gereklidir. Biz A ve B yi değiştirirsek açıkçası, bu denklemlerin birinde, biz başka bir doğru durumu elde ederiz.

Örneğin,A + B = 4 denklemi basitçe B + A = 4 olur. Ayrıca, bu yukarıda A ve B değerleri ile rasyonel katsayılı her türlü cebirsel denklemi için tutar, doğrudur, ama çok daha az açıktır (Böyle bir denklemde, A ve B yi değiştirme bir gerçek denklemini verir). kanıtlamak için bu simetrik polinomların teorisini gerektirmektedir Bir A ve B, A ve B değişimi olduğunda doğru kalmaz cebirsel denklem

(${\displaystyle A-B-2{\sqrt {3}}=0}$, ile ilgili itiraz olabilir. Ancak, bu denklem bizi ilgilendirmiyor,çünkü bu katsayı ${\displaystyle -2{\sqrt {3}}}$ olarak "kalmadığı" için A ve B doğru değilse değiştirilir. Bununla birlikte, bu denklem endişe verici değildir, çünkü onun ${\displaystyle -2{\sqrt {3}}}$ olan katsayıları için kesirli değildir).

Bizim iki permutasyonlarımızın oluşturduğu x² − 4x + 1 polinomun bu Galois grubunun sonucu: A ve B için özdeş dokunulmamış permutasyondur , ve A ve B değişklikleri için permütasyon transpozisyondur.Bu ikinci derecenin bir siklik grubudur, ve bunu için Z/2Z ye izomorfiktir .

ax² + bx + c herhangi karesel polinomlarına uygulanan işlemlerin bir benzeridir, burada a, b ve c kesirli sayılardır.

• ,x² − 4x + 4 = (x−2)² örneği için eğer polinomun yalnızca tek kökleri var, ise Galois grubu önemsizdir; bu demektirki,o yalnızca özdeş permutasyon içerir.
• x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1) için yine eğer onun kesirli iki farklı kökleri var ise,Galois grubu yine önemsizdir.
• Eğer onun iki kesirsiz kökleri, (içeren köklerin buradaki durumu karmaşıktır) var, ise, sadece yukardaki örnek içinde olarak Galois grup iki permutasyon içerir.

İkinci örnekler

polinomlar düşünüldüğünde

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,\ }$

bu

${\displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24.\ }$

olarak yazılabilir bu polinomun Galois grubu tanımına kesirli sayıların alanı üzerinde yine istiyoruz,polinomun dört kökü var:

${\displaystyle A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.}$

Buradaki bu dört kökün sıra değiştirme olmasına 24 olası yoldur ,ama bu permutasyonların tümü Galois grubunun üyeleri değildir.Galois grubunun üyeleri A, B, C ve D içeren rasyonel katsayılı cebirsel denklemi korumak gerekir

bu denklemler boyunca, :

${\displaystyle AB=-1}$

${\displaystyle AC=1}$

${\displaystyle A+D=0}$

elde ederiz.. Eğer ${\displaystyle \varphi }$ Galois grubuna ait bir permütasyon ise,elimizde olması gereken aşağıdadır:

${\displaystyle \varphi (B)={\frac {-1}{\varphi (A)}},\quad \varphi (C)={\frac {1}{\varphi (A)}},\quad \varphi (D)=-\varphi (A).}$

Bu permutasyon vurgusu Anın görüntüsü ile iyi tanımlanır, bu Galois grubunda 4 öge var, bunlar

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

ve Galois grubu Klein dört-grubuna izomorfiktir.

Alan teorisi ile modern yaklaşıklık

Modern yaklaşımda, bir alan uzantısı L/K ile bir başlangıç (K üzerinde L okunur) ve L/K 'nın otomorfizm alanlarının grubu olarak inceler(burada örten halka homomorfizmleri α: L → L böylece α(x) = x ,K içinde tüm x için) Daha ileri açıklama ve örnekler için Galois grupları üzerinde yazılara bakınız.

iki yaklaşık arasında bağlantı aşağıdaki gibidir. Soru içinde polinomalin katsayıları K alanı tabanından seçilen olmalıdır L alanı üst taban alanına soru içinde polinomun kökleri bitişimi ile elde edilen alan olmalı. L/K'nın bir otomorfizmine yükseltmek için yukarda verilen tanımlama olarak cebrik denklemler sırası ile köklerin herhangi permütasyonlarıdır ve tersidir

ilk örnek içinde yukarda, Q(√3)/Q,uzantı çalışmalarımız burada olacak Q kesirli sayılar'ın alanı dır ve Q(√3) √3 ilişkisi ile Q dan elde edilen alandır. İkinci örnek içinde, bizim Q(A,B,C,D)/Q uzantı çalşmalarımız olacak

Burada birkaç yaklaşık grup permütasyonları üzerinde modern yaklaşıklık için birkaç avantajdır

Bu Galois teorisinin temel teoremi'nin daha basit bir açıklama verir

Q dışındaki tabanların alanlarını kullanımı matematiğin birçok alanı içinde önemlidir. örneğin,cebrik sayı teorisi, içinde sık sık Galois teorisi taban alanı olarak sayı alanları sonlu alanlar veya yerel alanlar kullanarak bunu yapar

daha kolay sonsuz uzantılar çalışması sağlar. yine bu örneğin bir çoğu K, Q'nun bir cebrik kapalılık 'olan K/Q nun Galois grubu olarak tanımlanmaktadır. Burada Q'nun mutlak Galois grubu, sık sık anlatılan cebirsel sayılar teorisi içinde önemlidir

Ayrılamaz uzantıların değerlendirilmesi için izin verir. , her zaman aritmetik karakteristik sıfır içinde gerçekleşir varsayılmıştır, çünkü sorun klasik çerçeve içinde ortaya çıkmaz ama sıfırsız karakteristik sayı teorisi içinde ve cebrik geometri içinde sıklıkla ortaya çıkar. Bu polinomların köklerini kovalayan üzerinde oldukça yapay güveni ortadan kaldırır. Yani, farklı polinomlar aynı uzantısı alanları verebilir ve modern bir yaklaşım, bu polinomların arasındaki bağlantıyı tanır.

Çözülebilir gruplar ve kökler ile çözümleri

Bileşim serisi içindeki tüm çarpan grupları döngüsel ise, Galois grubu çözülebilir denir, ve alanları karşılayanın tüm ögeleri yinelenen kök alma ile bulunabilir, taban öğeleri alanının çarpımlar, ve toplamlar(genellikle Q).

Galois Teorisinin büyük bir zaferinin her n > 4 için kanıtıdır, burada n derecenin polinomları olduğu için — Abel–Ruffini teoremi ile ilgili kökler çözülebilir değildir. Bu n > 4 için neden olduğu bir basit simetrik grup S_n , döngüsel-olmayan, normal altgrup, yani alternatif grup A_n içerir.

Grup teorisinde çözülebilir grup kavramı tek bir polinom olan Galois grubunun çözümlülük özelliğinde olup olmadığına bağlı olarak, radikallerin çözülebilir olup olmadığını belirlemeye olanak sağlar. Aslında, her bir alan uzantısı L/K Galois grubunun bir bileşim serisinde bir çarpan grubuna karşılık gelir.Kompozisyon serisinde bir faktör grup mertebesi n olan döngüsel olduğunu ve alan K zaten birim ilkel n-inci kökü içeren karşılık gelen alan uzantısı L/K ise, o zaman radikal bir uzantısı ve L nin ögeleri ise K nın bazı ögeleri n inci kök kullanılarak ifade edilebilir