Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, ayni tanım formülünde birleşetirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.

Tanım

Eğer ${\displaystyle p}$ sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, ${\displaystyle p}$ üslü genelleştirilmiş ortalama

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

ifadesine uyan ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ pozitif reel sayılardır.

Özellikler

${\displaystyle t}$ = 1 hali aritmetik ortalama, ${\displaystyle t}$ = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t') için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

• Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ argumanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani $b$ pozitif bir reel sayı ise, ${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$ reel sayılarının ${\displaystyle p}$ üslü genelleştirilmiş ortalaması $b$ teriminin ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
• Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği

Genellikle, eğer ${\displaystyle p<q}$ olursa, o halde ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ olur ve iki ortalama ancak ve ancak ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {R} \ {\frac {\partial M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial p}}\geq 0,}$

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, ${\displaystyle p\in \{-1,0,1\}}$ ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

Özel haller

n=2 için bazı uygulamalı hallerin vizüyel gösterimi'.

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ - minimum,
• ${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$ - harmonik ortalama,
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$ - geometrik ortalama,
• ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$ - aritmetik ortalama,
• ${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ - kuadratik ortalama,
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ - maksimum.

Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı

Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi

p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

O halde:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$

(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

Geometrik ortalama

Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından q üssü alınırsa

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

olur. Her iki halde de ${\displaystyle x_{i}^{q}}$ silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

${\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$

Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}{\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik

Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

• Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

• Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:

Önce şu fonksiyon tanımlanır:

${\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}$ ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$.

Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}$

Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}$

${\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

• Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

Minimum ve maksimum

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri

$-\infty$ ve $+\infty$.

olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \max(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

Maksimum için ispat şöyle yapılır: Genelliği kaybetmeden x_i dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq x_{1}}$

Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}}$

≤ eğer q>0 , ≥ eğer q<0.

Her iki taraftan ${\displaystyle w_{1}x_{1}}$ çıkartılırsa, elde edilen ifade

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }(1-w_{1})x_{1}^{q}}$

olur. Bu ${\displaystyle (1-w_{1})}$ ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}}$

1 - w₁ sıfır değildir, böylece

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}=1}$

İki taraftan x₁^q çıkartırsak ortaya çıkan ifade

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}(x_{i}^{q}-x_{1}^{q})\leq {\color {red}\geq }0}$

olur. Bu epeyce acıkça anlaşılır; çünkü x₁ herhangi bir x_i değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

${\displaystyle x_{i}^{q}-x_{1}^{q}\leq {\color {red}\geq }0}$

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x₁, w₁ yerine x_n, w_n kullanılır.

Genelleştirilmiş ${\displaystyle f}$-ortalaması

Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması) daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

Bu formüle göre güç ortalaması ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{p}}$ olarak elde edilir.

Uygulamalar

Sinyal üretilmesi

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük ${\displaystyle p}$ için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük ${\displaystyle p}$ için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)

• Bu büyük değerde ${\displaystyle p}$ için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
• Bu küçük değerde ${\displaystyle p}$ için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

Ayrıca bakınız

• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Heronian ortalama
• Pisagorik ortalama
• Ortalama
• Ortalama kare kökü

Dış bağlantılar

• MathWorld'de güç ortalaması
• Genelleştirilmiş ortalama için örnekler
• PlanetMath sitesinde genelleştilmiş ortalama hakkında eşitsizlik ispatı
• Rasyonel ortalama