Green fonksiyonları

Green fonksiyonlari matematikte homojen olmayan diferansiyel denklemlerin, istenen sınır koşulları altında çözülmesinde kullanılan bir yöntemi ve bu yöntemle ilişkili olarak hesaplanan fonksiyonu belirtmekte kullanılır. İlk kez matematikçi George Green tarafından kullanılmıştır.

Tanımı ve kullanımları

Bir Green fonksiyonu, G(x, s) ve Rⁿ Öklid uzayının bir alt kümesi üzerinde bir lineer differansiyel operatör L = L(x) dağılım'ın hareketi olmak üzere,bir s noktasındaki herhangi bir çözümüdür

   

${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$

(1)

   

burada ${\displaystyle \delta }$ Dirac delta fonksiyonu'dur.Green fonksiyonunun bu özelliği form diferansiyel denklemleri çözmek için yararlanılabilir

   

${\displaystyle Lu(x)=f(x).}$

(2)

   

Eğer L 'nin çekirdek'i önemsiz değilse, sonra Green fonksiyonu da benzersiz değildir. Ancak, uygulamada,simetrinin bir bileşimi, sınır koşulları ve/veya diğer harici olarak empoze edilen kriterler benzersiz bir Green fonksiyonunu verecektir. Ayrıca, genel olarak Green fonksiyonlarının dağılım'ları vardır , mutlaka doğru fonksiyonlar'dır.

Green fonksiyonları da dalga denklemlerinin çözümünde yararlı bir araçtır, difüzyon denklemlerinin, ve kuantum mekaniği'ndeki,Green fonksiyonu Hamiltonyende anahtar bir kavramdır bununla birlikte durum yoğunluğu'ylada önemli bağlantıları var,Bir yan not olarak, fizikte kullanılan Green fonksiyonlarının genellikle ters işareti ile tanımlanır; yani,

${\displaystyle LG(x,s)=-\delta (x-s).}$

Bu tanım, Green fonksiyonunun özelliklerini önemli ölçüde değiştirmez.

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s).}$

Bu durumda,Green fonksiyonlarının lineer zamanla değişmeyen sistem teorisi'ndeki impuls cevabı aynıdır

Homojen olmayan sınır değer problemlerinin çözümü için Green fonksiyonları

Matematikte Green fonksiyonunun birincil kullanımı homojen olmayan sınır değer problemleri'ni çözmektir. Modern kuramsal fizik, Green fonksiyonları da genellikle Feynman diyagramları (ve ifade Green fonksiyonu genellikle herhangi bir korelasyon fonksiyonu) için kullanılır) Yayıcı'lar olarak kullanılmaktadır.

Çerçeve

L Sturm–Liouville operatorü olmak üzere, şeklinde lineer diferansiyel operatör

${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$

ve D sınır koşulu operatörü olmak üzere

${\displaystyle Du={\begin{cases}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{cases}}}$

f(x) [0,l] aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere. Ayrıca varsayılan problem

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

düzenli (homojen) problem için, yalnızca önemsiz çözüm var ).

Teorem

Burada tek ve yalnız tek çözümü karşılayan u(x) dır

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

ve bu verilir

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds}$

buradaki is koşulları sağlayan bir Green fonksiyonu G(x,s) aşağıdadır:

1. G(x,s) x ve s için süreklidir
2. ${\displaystyle x\neq s}$için, ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. ${\displaystyle s\neq 0}$için, ${\displaystyle DG(x,s)=0}$
4. Türev "jump": ${\displaystyle G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s)}$
5. Simetri: G(x, s) = G(s, x)

Örnekler

Helmholtz denkleminin çözümüne ilişkin Green'in fonksiyonları şöyledir:

${\displaystyle G(x,y)={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x-y|)\quad x\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{y\}}$

${\displaystyle G(x,y)={\frac {e^{-ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}}\quad x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \{y\}}$

Notlar

• Bu sayfanın 5 Ağustos 2010 tarihli içeriği Green'in fonksiyonu sayfasından alınmıştır.

Ayrıca bakınız

• Ayrık Green fonksiyonları ile graf tanımı ve gridler.
• Feynman Yayıcısı
• Green's eşitliği
• Impulse cevabı,sinyal işleme'de bir Green fonksiyonu analoğu
• Keldysh biçimciliği
• Spektral kuramı

Kaynakça

• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapters 18 and 19.
• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Mathematics Series.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Green's Function (MathWorld)
• PlanetMath'te Green fonksiyonları
• Green fonksiyonları, PlanetMath.org.
• Green fonksiyonları, PlanetMath.org.
• Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique by A. P. Jauho
• Tutorial on Green's functions
• Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically)
• At Citizendium
• MIT video lecture on Green's function