Hartogs teoremi

Matematikte, Hartogs teoremi veya Hartogs'un teoremi çok karmaşık değişkenlerde n > 1 karmaşık değişkene sahip analitik fonksiyonların analitik devamlarıyla ilgili olan ve karmaşık analizin bir değişkenli fonksiyonlar teorisinde varolmayan bir sonuçtur. Bu teorem aynı zamanda birden fazla değişkene sahip holomorf fonksiyonlar için korunmalı tekilliklerin ve kaldırılabilir tekilliklerin aynı olduğunu ifade eden temel bir sonuçtur. Friedrich Hartogs'a atfedilse de ayrıca Osgood-Brown teoremi (William Osgood'a atfen) olarak da anılmaktadır.

Bu teoremin düzgün bir ifadesi şöyledir:

${\displaystyle n>1}$ olsun, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 'de sınırlı bir D bölgesi alalım. K de D bölgesinin içinde yer alan ve D 'de göreceli olarak tıkız olan bir küme olsun. Eğer ${\displaystyle f\ }$, ${\displaystyle D\backslash K}$ 'de holomorf bir fonksiyon ise, o zaman D 'de holomorf olan ve ${\displaystyle D\backslash K}$ 'de ${\displaystyle f\ }$ 'ye eşit olan holomorf bir ${\displaystyle F\ }$ fonksiyonu vardır. Başka bir deyişle, ${\displaystyle n>1}$ iken sınırlı bir bölgenin göreceli tıkız olan bir altkümesinin haricinde her yerde holomorf olan bir fonksiyon, bu sınırlı bölgenin tümüne holomorf bir şekilde devam ettirilebilir.

Daha kesin olarak özelde de şöyle denilebilir: n ≥ 2 için Cⁿ 'de, bir K tıkız kümesinin tümleyeninin üzerinde tanımlı analitik bir F fonksiyonu Cⁿ 'de analitik bir fonksiyona (gerekli şekilde biricik olarak) uzatılabilir. Aynısı yine bir topun tümleyeninde veya tıkız bir altkümenin D polidiski içinde tanımlı olan F için de geçerlidir. Bu yüzden, çok değişkenli bir karmaşık fonksiyonun tekil kümesi gevşek konuşmak gerekirse belli bir yönde 'sonsuza doğru patlar'.