Hermisyen matris

Hermisyen matris karmaşık eşleniğinin transpozesi kendisine eşit olan matrislere verilen genel addır. Transpozesinin kendisine eşit olması şartı bu matrislerin kare matris olmaları kısıtlamasını getirir. Ayrıca köşegen elemanları düşünürsek bu elemanların transpozeleri de kendi yerlerinde olduğu için eşlenik alma işlemi altında değişmez kalabilmeleri ancak gerçel sayı olmaları durumunda sağlanacağından her Hermisyen matrisin tüm köşegen elemanları tanımın getirdiği bir kısıtlamadan dolayı gerçel olmak zorundadır.

Bir matrisin Hermisyen olabilmesi için elemanlarının şu şartı sağlaması gerekir:

$a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}$

Matris olarak bir matrisin hermisyen olması $H^*=H$ şeklinde ifade edilir. Hermisyen matrislerin en önemli özelliği üniter bir değişimle köşegenleştirilebilir olmaları ve köşegen elemanların gerçel olmaları zorunluluğu yüzünden gerçel özdeğerlere sahip olmalarıdır.

Örnek olarak Pauli matrisi $\sigma_y$ ele alınabilir. Bu matrisin bir gözlemlenebilir olan spin ile ilişkili olması hermisyen olmasını gerektirir.

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

matrisinin önce transpozesi elemanlarının satır ve sütun numaraları değiştirilerek hesaplanırak elde edilen matris

$\sigma_y^T = \begin{pmatrix} 0&i\\ -i&0 \end{pmatrix}$

olur. Bu matrisin karmaşık eşleniği bütün sanal sayılar -1 defa kendileriyle yer değiştirilerek hesaplanırsa elde edilen matrisin başlangıçtaki $\sigma_y$ matrisi olduğu görülebilir.