Pauli matrisleri
Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:
İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.
Özellikler
I birim matris olmak üzere.
- Pauli matrislerinin determinant ve izleri:
Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir.
- Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.
Komutasyon bağıntıları
- Yukarıdaki ifadeler kullanılarak Levi-Civita sembolü, Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:
Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:
- .
Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:
Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:
- (a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
- en genel tanımıyla olarak verilen bir a vektörü için
Çift kuvvetler için
tek kuvvetler için
Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:
yerine koyularak
sonuçta,
ifadesine ulaşılır.
Fizik
Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.
Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.