Taylor serisi

Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır. Bu çizim, ${\displaystyle \sin x}$ (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor.

Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise (${\displaystyle a=0}$), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.

Tanım

Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).

Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir ${\displaystyle f(x)}$ fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere ${\displaystyle (a-r,a+r)}$ aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }$

Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Burada ${\displaystyle n!}$, n faktöriyeli; ƒ ⁽ⁿ⁾(a) ise f fonksiyonunun n. dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir. f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)⁰ ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.

Maclaurin serisi

a=0 özel durumunda seri, Maclaurin serisi olarak adlandırılır:

${\displaystyle f(0)+f'(0)x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

Örnekler

Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.

(1 − x)⁻¹ için Maclaurin serisi,

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$ geometrik serisidir.

x^-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots \!}$ dir.

Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$

Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$ dir.

a = 0 noktasında e^x üstel fonksiyonu için Taylor serisi:),

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$ dir.

e^x'in x'e göre türevi yine e^x 'e ve e⁰ de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)ⁿ terimi, paydasındaysa n! terimi kalır.

Yakınsaklık

Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.

log(1+x) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < x ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. x > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin daha kötü yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.

Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların Frechet uzayında bir eksik kümedir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.

Bir f fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde f(x)'in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir. Örneğin;

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&\mathrm {if} \ x\not =0\\0&\mathrm {if} \ x=0\end{cases}}}$

fonksiyonu x=0'da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır.

Analitik fonksiyonlar

Eğer seri belirtilen aralıktaki her ${\displaystyle x}$ noktasında ${\displaystyle f(x)}$'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, f(x) =e ^−1/x², x ≠ 0 ve ${\displaystyle f(0)=0}$ fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.

Kullanım Alanları

Taylor serileri, fonksiyonların (ör. logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler. Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabimektedir.