Kök testi
Matematikte kök testi bir
sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir.
Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.
Test
Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi
sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.
Kök testi şunu ifade etmektedir.
- C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
- C > 1 ise, seri ıraksaktır.
- C = 1 ise, test sonuçsuzdur.
Kuvvet serilerine uygulanması
Bu test, cn katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir
kuvvet serisiyle kullanılabilir.
O zaman serinin terimleri an = cn(z - p)n ile verilir. O zaman kök testi an 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.
İspat
Σan serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her n ≥ N (n sabit bir doğal sayı) için ise, o zaman olur. geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle de yakınsar. Pozitif olmayan an için yakınsaklık da kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.
Sonsuz tane n için ise, o zaman an 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.
Sonucun kanıtı: Σan = Σcn(z - p)n kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:
Her n ≥ N için
ifadesine denk olarak
ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için olmasını gerektirmektedir. Bu da
demeye denktir. Böylece
olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,
olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece
olur.
Ayrıca bakınız
- Oran testi
- Yakınsak seriler
Kaynakça
- Knopp, Konrad (1956), "3.2", Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York, ISBN 0-486-60153-6
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963), "2.35", A Course in Modern Analysis (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3
Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.