Koszul kompleksi

matematikte, Koszul kompleksi ilk Lie cebri için bir kohomoloji teorisi olarak Jean-Louis Koszul tarafından tanıtılmış idi.( bakınız Lie cebri kohomolojisi).Bunun homolojik cebir'in kullanışlı bir genel yapısı olduğu ortaya çıktı.

Giriş

Değişmeli cebirde, eğer x R halkasının bir ögesi ise, x çarpım tarafından bir R-doğrusaldır ve bir R-modül homomorfizmi'nin gösterimi x:R →R den R kendisinedir.Her ucundan sıfır atmak(serbestleştirmek) ve R-kompleksi yapmak için yararlıdır

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ x\ }}R\to 0.}$

Buna K_•(x) zincir kompleksi denir.

Sıfırıncı derece olarak R 'nin sağ kopyasını ilk derece olarak sol kopya sayarak,x tarafından Bu zincir kompleksi düzgün bir şekilde x ile çarpma yaklaşık en önemli gerçekleri yakalar çünkü o sıfırıncı homoloji x'in katları tam olarak R modülünün homomorfik görüntüsüdür , H₀(K_•(x)) = R/xR, ve bu ilk homoloji x 'ın tam yokedici'sidir , H₁(K_•(x)) = Ann_R(x).

Bu zincir kompleksi K_•(x) , R ile sırasıyla x 'ın Koszul kompleksi olarak adlandırılır.

Şimdi, Eğer x₁, x₂, ..., x_n Rnin ögesinin , Koszul kompleksi R ile sırasıyla x₁, x₂, ..., x_n, genellikle gösterilen K_•(x₁, x₂, ..., x_n),her i için ayrı ayrı yukarda tanımlanan R-Koszul komplekslerinin içindeki kategori'nin içindeki tensör çarpımı'dır .

Koszul kompleksi bir serbest zincir kompleksidir. Burada tam olarak (n j ye tercih edilir)kompleksi (0 ≤ j ≤ n) içindejinci derece içinde R halkasının kopyasıdır. Haritalarda yer alan matrisler tam aşağıdaki gibi yazılabilir.${\displaystyle e_{i_{1}...i_{p}}}$ yardımıyla bir serbest baz üreteci belirtilir: K_p, d: K_p Şablon:Mapsto K_{p − 1} tanımı ile:

${\displaystyle d(e_{i_{1}...i_{p}}):=\sum _{j=1}^{p}(-1)^{j-1}x_{i_{j}}e_{i_{1}...{\widehat {i_{j}}}...i_{p}}.}$

x ve y iki öge için durum, Koszul kompleksi oldukça özlü olarak yazılabilir

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

matrisle birlikte ${\displaystyle d_{1}}$ ve ${\displaystyle d_{2}}$ ile verilen;

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}}$ ve

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.}$

Unutmadan d_i uygulama olarak soldadır.Derece 1 içindeki döngü'ler eğer sınırdakiler önemsiz ilişkiler ise x ve y ögeleri tam olarak doğrusal ilişkilerdir .İlk Koszul homoloji H₁(K_•(x, y)) bu nedenle önemsiz ilişkiler tam olarak ilişkiler ölçen moddur.Daha fazla öğeleri ile yüksek boyutlu Koszul homolojilerin bu üst düzey sürümleri ölçülür

derece 1'deki döngüler , bu ögelerin durumu x₁, x₂, ..., x_n bir düzgün diziler formu, Koszul kompleksinin daha yüksek homoloji modüllerinin hepsi sıfırdır.

Örnekler

Eğer k bir alan ve X₁, X₂, ..., X_d belirsizlikler ve R polinomal halka k[X₁, X₂, ..., X_d], ise Koszul kompleksi K_•(X_i) olarak X_i's formu bir somut serbest k nın R-çözümüdür.

Teorem

Diyelimki(R, m) olsun bir Noetherian lokal halka ile maksimal ideal m, ve Diyelimki M bir sonlu-üreteç R-modüldür. Eğerx₁, x₂, ..., x_n maksimal ideal mnin ögesi , ise eşitlikler için:

1. (x_i) form bir düzenli dizi olarak M,
2. H₁(K_•(x_i)) = 0,
3. H_j(K_•(x_i)) = 0 bütün j ≥ 1 için

Uygulamalar

Koszul kompleksi bir Banach uzayı içindeki Sınırlı lineer operatörün Bir tanımlama grubu ortak spektrumu tanımı içinde gereken şeydir .

Ayrıca bakınız

• Koszul–Tate kompleksi

Kaynakça

• David Eisenbud, Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8