Lie cebri kohomolojisi

Matematikte, Lie cebri kohomolojisi Lie cebirleri için bir kohomoloji teorisidir. Tanımı kompakt Lie gruplarınin altındaki topolojik uzayların kohomolojisinin cebrik bir inşasi için Chevalley ve Eilenberg (1948) tarafından verilmiştir.Yukarıdaki yazıda,özel bir zincir kompleks Koszul kompleksi olarak adlandırılarak bir Lie cebri üzerinde bir modül için tanımlanır ve onun kohomolojisi normal duyarlilik içinde alinir

Alıştırma

Eger G aralıksız bir basit bağlantılı Lie grubu ise, onun Lie cebirinden Lie cebrinin kendi kohomolojisini hesaplamak mümkündür. Bu asagidaki gibi yapılabilir.Bu kohomoloji G üzerindeki diferensiyel formların kompleksinin de Rham kohomolojisidir Bu sırayla uygun bir diferansiyel ile, Lie cebrinin dış cebri ile ayırt edilebilir eşdeğişken diferensiyel formlarının kompleksi ile yer değiştirebilir.uygun bir diferansiyel ile Lie cebrinin dış cebri ile bu tesbit yapabilir, herhangi bir Lie cebri için mantıklı böylece tüm Lie cebiri için Lie cebri kohomolojisi tanımlamak için kullanılır.Daha genel olarak kullanilan benzer bir yapım bir modül içindeki katsayılar ile Lie türevi kohomolojisi tanımlamaktir

Tanımlar

Diyelimki ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ,değişmeli halka R ve genel zarflama cebri ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ üzerinde bir Lie cebri ve diyelimki ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin bir gösterimi M olsun(eşdeğer bir ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$-modül). Yinede R ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ göz önüne alındığında R nin önemsiz bir gösterimi,bir kohomoloji grupları tanımlar

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(Ext tanımı için bakınız Ext funktör).Eşdeğer olarak, sol taraf tam değişmez altmodülün funktörlerleri sağ türetilmiş funktörlerdir.

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Benzer olarak Lie cebiri homolojisi tanımlanabilir.

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

Tor tanımı için (bakınız Tor functor) Sağ tam eşdeğişmez funktörun solundaki türetilmiş funktöre eşdeğerdir.

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

Lie cebirlerinin kohomolojisi ile ilgili bazı önemli temel sonuçlar Whitehead lemması içindedir, Weyl teoremi ve Levi ayrışması teoremi.

Küçük boyutlarda Kohomoloji

Sıfırıncı kohomoloji grubu Modül üzerinde hareket eden Lie cebirinin değişmezleridir.

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ tümü için }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Birinci kohomoloji grubunun türevlerinin uzayı Der,modülo uzayının iç türevleri Iderdir.

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=Der({\mathfrak {g}},M)/Ider({\mathfrak {g}},M)}$

bu Lie cebrinin d 'sinden M 'ye bir türev gönderimdir,öyle ki

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

Olarak verilecek olursa içsel olarak adlandırılır;

M içindeki bazı a lar için,

${\displaystyle dx=xa~}$

İkinci kohomoloji grubu;

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

Lie cebirinin uzantıları eşdeğerlik sınıflarının alandır.

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

modülü M den Lie cebrine yüksek kohomolojik gruplar için herhangi benzer kolay yorumlar var gibi görünmüyor.

Ayrıca bakınız

• Kuramsal fizikte BRST formalizmi

Kaynakça

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948), "Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras", Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 63 (1): 85–124, DOI:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908 
• Hilton, P. J.; Stammbach, U. (1997), A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 4 (2nd bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546 
• Knapp, Anthony W. (1988), Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes, 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 938524 

Dış bağlantılar

Şablon:Scholarpedia