Lorentz faktörü

Şablon:Redirect-distinguish

Lorentz faktör veya Lorentz terimi özel görelilik içinde denklemler içinde görünür bir ifadedir. Bu türetmeden Lorentz dönüşümü doğar. Lorentz elektrodinamiği içinde daha önce görünüm orijinal adı Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz adına ithaf edilmiştir.^[1] Onun aynı anda her yerde bulunması nedeniyle, genel olarak sembol γ(yunanca küçük gamma ) ile gösterilmiştir. Bazen (özellikle Işıktan hızlı hareketin tartışmasında) faktör Γ (Yunanca büyük-gama) yerine daha çok γ yazılır.

Tanım

Lorentz faktör olarak tanımlama:^[2]

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}}$

burada:

• v Göreceli hız eylemsiz referans çerçeveleri arası hızdır,
• ışık hızı c 'nin v kesri β'dir.
• τ bir gözlemci için uygun zaman (gözlemcinin kendi çerçevesinde zaman aralıklarında ölçüm),
• c Işık hızı bir boşluk içindeki hızdır.

Bu, sadece bir (alternatif formları için aşağıya bakınız) olsa da, uygulamada en çok kullanılan formudur.

Tanımı tamamlamak için, bazı yazarlar karşılıklı tanımlar:^[3]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}$

bakınız hız ekleme formülü.

Olay

Aşağıdaki γ bir kısaltma olarak kullanmak Özel görelilik gelen formüller listesi:^[2][4]

• Lorentz dönüşümü: En basit durumda x"- koordinatları içinde bir boost olduğunu kullanarak bir eylemsiz çerçevesinden değişiklik koordinatlarını uzay-zaman da nasıl açıklanır yönünde (Burada belirtilmeyen keyfi yönleri ve rotasyonlar dahil olmak üzere daha genel formları),hangi eylemsiz çerçeveleri koordinatları kullanarak değişiklik koordinatlarını uzay zamanı nasıl açıklar (x, y, z, t) den diğer (x' , y' , z' , t' ) ye ile göreceli hız v:

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$

Yukarıdaki dönüşümlere arasında bağıntıların sonuçları:

• zaman genişlemesi: saat olarak hareket ettiği çerçeve içinde iki çizgi arasındaki ölçülen zamanı (∆t' ) olarak saat geri kalan çerçeve içinde bu çizgileri arasındaki v ölçülen zamanı (∆t)'den daha uzundur

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.\,}$

• Uzunluğun kısalması:' Uzunluğu (Δx) hareket ettiği çerçeve içinde ölçülen, bir nesnenin, uzunluğu daha kısa olan,(Δ "x") kendi dinlenme çerçeve içinde:

${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!}$

momentum ve enerji'nin korunumu uygulamada bu sonuçlara yol açar:

• Göreli kütle:Bir nesnenin m kütlesi hareketi is bağımsız olarak ${\displaystyle \gamma }$ dır ve istirahat kütlesi m₀:

${\displaystyle m=\gamma m_{0}.\,}$

• Göreli momentum: Göreli momentum ilişki klasik momentumu ile aynı biçimi alır, ancak yukarıdaki göreli kütle kullanılarak

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.\,}$

Uzunluğun kısalması

Lorentz faktörünün γ hızının bir fonksiyonu olarak. Onun başlangıç ​​değeri 1 (zaman v = 0) ve hızı ışık hızına yaklaştıkça ( v → c)γ" bağlı olmadan artar (γ→ ∞).

Aşağıdaki grafikte, sol sütunda ışık hızına (c birimlerinde yani) farklı fraksiyonları olarak hızları gösterir. Orta sütunda karşılık gelen Lorentz faktörü gösterir, son tersidir.

Hız ( c'türünden)	Lorentz faktörü	Tersi
${\displaystyle \beta =v/c\,\!}$	${\displaystyle \gamma \,\!}$	${\displaystyle 1/\gamma \,\!}$
0.000	1.000	1.000
0.100	1.005	0.995
0.200	1.021	0.980
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

Alternatif temsilleri

Doğal olarak faktörü yazmak için başka yollar vardır. Yukarıda, v hızı kullanıldı, ama ilgili değişkenler gibi ivme ve hız'da uygun olabilir

Momentum

γ için bir önceki göreli momentum denklemi çözümüne yol açar:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}$

Maxwell-Jüttner dağılımı içinde bu form, nadiren kullanılır, bu ancak bunun içinde görünmüyor.^[5]

Hız

hız'ın tanımı Hiperbolik açı φ olarak uygulanması:^[6]

${\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!}$

Ayrıca γ (hiperbolik özdeşliklerin) kullanımı ile şuna yol açar:

${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!}$

Lorentz dönüşümü özelliğini kullanarak,bunun, çabukluk olduğu gösterilebilir,hızın olmadığı kullanışlı bir özellik.Böylece tek parametre grubu çabukluk parametresi,fiziksel modeller için bir temel oluşturur.

Seri açılımı (hız)

Bir Lorenz faktörünün Maclaurin serisi vardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}$

yaklaşıklık γ ≈ 1 + ¹/₂ β² düşük hızlarda rölativistik etkileri hesaplamak için kullanılabilir. Bu% 1 hata içinde tutar v < 0.4 c (v < 120,000 km/s) için , ve % 0.1 hata payı içinde v < 0.22 c (v < 66,000 km/s) için.

Fizikçi'lerin Bu serinin kesilmiş sürümleri de sağlamak kanıtlamak için özel görelilik Newton mekaniği'nin düşük hızlarına indirgenir.Örneğin, tutalımki özel göreliliğin,aşağıdaki iki denklemi olsun :

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}$

γ ≈ 1 ve γ ≈ 1 + ¹/₂ β²,için sırasıyla, Bu onların Newton eşdeğerini indirger:

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Lorentz faktörü denklemi ayrıca ters çevrilebilir:

${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}$

Bu bir asimptotik biçime sahiptir:

${\displaystyle \beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }$

İlk iki dönem zaman zaman büyük hızlı γ değerlerden hızları hesaplamak için kullanılır. yaklaşım β ≈ 1 - ¹/₂ γ⁻² γ> 2 için 1% tolerans içinde tutar, ve 0.1% tolerans için γ > 3.5. γ> 2 için 1% tolerans içinde tutar,

Ayrıca bakınız

• Referans Eylemsizlik çerçevesi
• Yalancı hız
• Uygun hız

Kaynakça

1. One universe, by Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.
2. Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
3. Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.
4. Young; Freedman (2008). Sears' and Zemansky's University Physics (12th bas.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1. 
5. Synge, J.L (1957). The Relativistic Gas. Series in physics. North-Holland. LCCN 57-003567
6. Kinematics, by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.

Dış bağlantılar

• Merrifield, Michael. "γ – Lorentz Factor (and time dilation)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 7 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160207012510/http://sixtysymbols.com/videos/lorentz.htm. 
• Merrifield, Michael. "γ2 – Gamma Reloaded". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 7 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160207012514/http://sixtysymbols.com/videos/gamma_reloaded.htm.