Otokorelasyon

Otokorelasyon, çoklu regresyon analizinde hata teriminin birbirini izleyen değerleri arasında ilişki bulunması halidir. Bu durum, genel doğrusal regresyon modelinin önemli bir varsayımından sapmadır. Genel doğrusal regresyon modeli varsayım gereği olarak, hata terimleri arasında bir ilişki yoktur.

Tanım

Matematiksel olarak otokorelasyon olmaması demek, i ve j zaman noktalarindaki rassal u hatalarinin arasındaki kovaryansin 0'a esit olmasi olarak gosterilir:

${\displaystyle Kov(u^{i}u^{j})=E{[u^{i}-E(u^{i})][u^{j}-E(u^{j})]}=E(u^{i}u^{j})=0}$

Oysa pratikle bu varsayım bazen çiğnenmekte ve hata terimleri arasında bir ilişki bulunmaktadır. Bu durum otokorelasyon olarak adlandırılmaktadır.

${\displaystyle E=(u^{i}u^{j})}$≠0, i≠j

Eğer i ve j arasinda tek bir zaman donemi varsa buna birinci derece otokorelasyon denilir.

${\displaystyle E=(u^{i}u^{i}+1)}$≠0

Pratik ekonometrinin ilk gelisme caglarinda cok kere sadece bu turlu otokorelasyon incelemesi ile yeterli bulunmakta idi. Bu durumda rassal hatalarin varyns-kovaryans matrisi bir diyagonal matris olur:

${\displaystyle Var-Kov=sigma^{2}I}$

Otokorelasyon, uygulamada daha çok zaman serilerinde ortaya çıkmaktadır. Bununla birlikte, yatay kesit verilerinde de otokorelasyona (serisel korelasyon) rastlanabilir. Zaman serilerinde otokorelayon, zaman periyodunun büyüklüğü veya küçüklüğüne göre değişebilir. Periyot, bir aylık veriye dayanıyorsa, otokorelasyon büyük, üç aylıksa biraz daha küçük ve yıllıksa daha da küçüktür.

Otokorelasyonun nedenleri şu şekilde sıralanabilir:

1. Bazı açıklayıcı değişkenlerin modele alınmaması
2. Modelin matematiksel biçiminin yanlış seçilmesi
3. Açıklanan değişkende ölçme hatası olması
4. Verilerin işlenmesi
5. Hata teriminin yanlış belirlenmesi.

Otokorelasyon sonucunda ise;

1. Parametre tahminleri sapmasız olmakla birlikte etkin değildir.
2. Hata teriminin varyansı, olduğundan küçük tahmin edilmektedir.
3. E.K.K. tahminlerine göre yapılan öngörüler etkin değildir.

Durbin-Watson Testi

Otokorelasyonun belirlenmesinde kullanılan ve en çok bilinen testlerden biri Durbin-Watson testidir. Bu test sadece birinci derecedeki otokorelasyonun bulunup bulunmadığını sınamaktadır. Dört aşamalı bir testtir.

1. Aşama: Hipotezlerin kurulması

• H₀: P = 0 (otokorelasyon yoktur)
• H₁: P ≠ 0 (otokorelasyon vardır)

2. Aşama: Tablo değerlerinin bulunması

Bu aşamada, seçilen bir anlamlılık düzeyi ile gözlem sayısı ve açıklayıcı değişken sayısına göre, Durbin-Watson tablosundan, d istatistiğinin alt (d_L) ve üst (d_u) sınırları bulunur.

3. Aşama: Kritik oran d istatistiğinin hesaplanması

d istatistiği:

${\displaystyle d={\sum _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2} \over {\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}}$

4. Aşama: Karşılaştırma ve karar aşaması

Bu aşamada, ikinci aşamada bulunan tablo tablo değerleri ile üçüncü aşamada hesaplanan d istatistiği karşılaştırılarak, otokorelasyonun varlığı konusunda bir sonuca ulaşılabilir. Karar vermede şu eşitsizlikler kullanılmaktadır.

• 0<d<d_L ise pozitif otokorelasyon
• d≤sub>Ld≤d_u ise karar verilememektedir
• d_u≤d<4-d_u ise otokorelasyon yoktur
• 4-d_u≤d≤4-d_L ise karar verilememekte
• 4-d_L<d<4 ise negatif otokorelasyon sonuçları ortaya çıkmaktadır.

Durbin-Watson d testi şu durumlarda kullanılmamaktadır;

1. Modelin sabit teriminin olmaması
2. Bağımsız değişkenler stokastik ise
3. Hata terimleri birinci dereceden otokorelasyonlu değilse
4. Bağımsız değişkenler arasında bağımlı değişkenin gecikmeli değeri bulunuyorsa.

Durbin-Watson d istatistiği tablosu n<15 için d_L ve d_u değerlerini vermemektedir. Bu durumda, Von-Neumann testi kullanılmaktadır.

Referanslar