Sözde-Riemannyen manifold

Diferansiyel geometride, bir yalancı-Riemannyen manifold ^[1][2] (ayrıca bir yarı-Riemannyen manifold denir) Riemannyen manifoldunun bir genellemesidir ve bu gibi birçok matematiksel nesnelerin isimlendirmesi Bernhard Riemann anısınadır. Bir Riemannian manifold ile bir yalancı-Riemannyen manifold arasında temel fark bir yalancı-Riemannyen manifold üzerindeki metrik tensör pozitif-tanıma gerek duymaz,onun yerine dejenere olmayanın zayıf bir durumu dayatılır.

Giriş

Manifoldlar

Diferansiyel geometride diferansiyellenebilir manifold bir uzay ve bu Öklid uzayına benzer bir yereldir ve bir n-boyutlu Öklidyen uzay içinde herhangi n noktasi gerçel sayılarla belirtilebilir ve bu noktanın koordinatları olarak adlandırılır.

Bir n-boyutlu diferansiyellenebilir manifold n-boyutlu Öklidyen uzayın bir genellemesidir,bir manifold içinde bu koordinatlar yerellik tanımı için mümkün olabilir,bu ancak koordinat yamaları tanımı ile sağlanabilir:manifoldun altkümeleri n-boyutlu Öklidyen uzay içine bu yolla eşlenebilir. Manifold, diferansiyellenebilir manifold,daha detaylar için ise koordinat yaması konularina bakilabilir.

Tanjant uzay ve metrik tensörler

Bir ${\displaystyle \scriptstyle n}$-boyutlu diferansiyellenebilir manifold ${\displaystyle \scriptstyle M}$ içinde ilişkili her ${\displaystyle \scriptstyle p}$ noktasi ile bir tanjant uzaydır (${\displaystyle \scriptstyle T_{p}M}$ ile ifade edilen). Bu ${\displaystyle \scriptstyle n}$-boyutlu vektör uzayı gibi ögeler bir ${\displaystyle \scriptstyle p}$ noktası aracılıyla geçen eğrilerin denklik sınıfıları olarak düşünülebilir .

dejenere-olmayan bir metrik tensör düzgün, simetrik, çiftdoğrusal gönderme bu manifoldun her tanjant uzayında tanjant vektörlerin bir çiftine bir gerçek sayı değeri atar.Metrik tensör olarak ${\displaystyle \scriptstyle g}$ ile bunu ifade edebiliriz

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$.

Gönderme simetrik ve çiftdoğrusal ve eğer ${\displaystyle \scriptstyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ gibi bir ${\displaystyle \scriptstyle M}$ manifolda ${\displaystyle \scriptstyle p}$ noktasında tanjant vektörler ise elimizde

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

var. herhangi bir ${\displaystyle \scriptstyle a\in \mathbb {R} }$ gerçel sayı için .

${\displaystyle \scriptstyle g}$ dejenere-olmayan ve bunun anlamı tüm ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ için ${\displaystyle \,g(X,Y)=0}$ gibi ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ sıfır-olmayan yoktur.

Metrik işaretleri

Bir n-boyutlu gerçek manifold üzerinde verilen bir metrik tensör g, n gerçek değerler üreten herhangi ortogonal tabanın her vektörü için metrik tensör uygulanan ile ilişkili karesel formu q(x) = g(x,x) dır. Sylvester'in katılık teoremi ile, her pozitif, negatif ve bu tutum içinde üretilen sıfır değerlerin sayısı ortogonal tabanın seçiminden bağımsız metrik tensorün değişmezleridir.Metrik tensörün verilen bu sayıların işareti (p,q,r) ,aynı derece içinde gösterilir.Bir dejenere olmayan bir metrik tensör r = 0 ve işareti için (p,q) ile ifade edilebilir, burada p + q = n dir.

Tanım

Bir ${\displaystyle \,(M,g)}$ sözde-Riemannyen manifold dejenere olmayan bir ${\displaystyle \,M}$ diferansiyellenebilir manifold ile donanımlıdır,düzgün bir Riemannian metrik aksine , bu ${\displaystyle \,g}$ simetrik metrik tensör,pozitif tanıma gerek duymaz,ama dejenere olmamalıdır.Böyle bir metriğe bir sözde-Riemannyen metrik denir ve onun değerleri pozitif,negatif veya sıfır olabilir.

Bir sözde-Riemannyen metriğin işareti (<p,q>) burada hem p ve hem de q negatif-değildir.

Lorentzyen manifold

Bir Lorentzyen manifold bu metriğin işareti içinde bir sözde-Riemannyen manifoldun bir önemli özel durumu (1, n−1) (veya bazen (n−1, 1) dir, bakınız işaret kuralı). Böyle metrikler Lorentzyen metrikler olarak adlandırılır. Bu isim fizikçi Hendrik Lorentz sonrasıdır.

Fizikte uygulamaları

Riemann manifoldları sonrası, Lorentz manifoldları pseudo-Riemann manifoldları en önemli alt sınıfı oluşturur. Onlar çünkü onların genel görelilik teorisinin fiziksel uygulamaları önemlidir.

A principal basis of general relativity is that spacetime can be modeled as a 4-dimensional Lorentzian manifold of signature (3, 1) or, equivalently, (1, 3). Unlike Riemannian manifolds with positive-definite metrics, a signature of (p, 1) or (1, q) allows tangent vectors into zamangibi, boş veya uzaygibi sınıflandırılır.(bakınız nedensel yapı).

sözde-Riemannyen manifoldların özellikleri

Sadece Öklidyen uzay ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ olarak model Riemannyen manifold olarak düşünülebilir, Minkowski uzayı ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ düzgün Minkowski metriği ile model Lorentzyen manifolddur. Likewise, the for of işaretinin (p, q) bir sözde-Riemannyen manifoldu için model uzay ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ile metrik

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$'tir

Riemann geometrinin bazı temel teoremler sözde-Riemann durumuna genelleştirilebilir.Özel olarak,Riemannyen geometrisinin temel teoremi yanı sıra sözde-Riemannyen manifoldların içinde doğrudur. Bu ilişkili eğrilik tensörü ile bir yalancı-Riemannyen manifold boyunca üzerindeki Levi-Civita bağlantısının konuşmasına izin verir. Öte yandan, genel duruma sahip olmayan Riemannian geometrisinde pek çok teorem vardır. Örneğin, her bir düz manifoldu verilen bir işaretinin bir sözde-Riemannian metrik kabul eder olduğu doğru değildir; buradaki belli topolojik engeldir. Dahası, bir alt-manifold bir sözde-Riemannyen manifoldun yapısı her zaman devralınmaz değildir; Örneğin,metrik tensör herhangi ışık-gibi eğri üzerinde sıfır değeri almaz.Bir sözde-Riemannyen manifoldun bir örneğini Clifton–Pohl torusu sağlar ama tam değildir,bu Hopf–Rinow teoreminin özelliklerinin bir bileşimi Riemannyen manifoldlar için olanak vermez.^[3]

Ayrıca bakınız

• Uzay
• Hiperbolik kısmi diferansiyel denklem
• Nedensellik koşulları
• Küresel hiperbolik manifold

Notlar

1. Benn, I.M.; Tucker, R.W. (1987), An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics, Adam Hilger, ss. 172 
2. Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds, The Macmillan Company, ss. 208 
3. O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, ss. 193, ISBN 9780080570570, http://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 .

Kaynakça

• Benn, I.M.; Tucker, R.W. (1987), An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (First published 1987 bas.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3 
• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 bas.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6 
• Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7 
• G. Vrănceanu & R. Roşca (1976) Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.