Rahatlatma metodu

Numerik matematik te, rahatlatma metodu eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin belirli biçimlerini, özel Laplace denklemini ve onun genelleştirilmesini, Poisson denklemini kapsayan denklem çözümlerine numerik yaklaşımlar elde etmek için kullanılan metottur. Fonksiyonun şeklinin sınırlarının üzerinde verildiği kabul edilir ve de içinde hesaplanmasını gerektirir.

Bu rahatlatma metodu matematiksel optimizasyonda kullanılan alakasız rahatlatma teknikleri ile karıştırılmamalıdır.

Taslak

φ düzgün gerçek sayılar üzerinde gerçek değerli fonksiyon olarak tanımlandığı zaman, onun ikinci türevine yaklaşım şu şekilde yapılabilir:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx}^{2}}}\varphi (x)=h^{-2}\left(\varphi (x{-}h)-2\varphi (x)+\varphi (x{+}h)\right)\,+\,{\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$

Bunu iki argümanlı ve de (x,y) noktalarında tanımlanmış φ fonksiyonu içinher iki boyutta da φ(x, y) için çözersek:

${\displaystyle \varphi (x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}{\nabla }^{2}\varphi (x,y)\right)\,+\,{\mathcal {O}}(h^{4})\,.}$

Poisson denklemine yakınsama yapmak için :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f\,}$

İki boyutlu karesel boşluğun h olarak belirtildiği karesel sistemde , rahatlama metodu öncelikle karesel sistemin sınırlarına fonksiyonun verilmiş değerlerini ve karesel sistemin iç noktalarına rastgele değerler atar, daha sonra iç noktalarda sürekli φ := φ* görevini yürütür, burada φ* yakınsama olana kadar şöyle gösterilir:

${\displaystyle \varphi ^{*}(x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}f(x,y)\right)\,,}$

Burada iki boyutlu olarak taslağı yapılmış olan bu metot hali hazırda bütün boyutlar için genelleştirilmiştir.

Yakınsama ve ivme

Metot sürekli yakınsar iken, bu genellikle yavaşça meydana gelir. Çoklu karesel sistem yöntemi hesaplamayı hızlandırmak için kullanılabilir. Öncelikle büyük bir karesel sistemde—genellikle 2h lık bir karesel boşluk ile—bir yaklaşım hesaplanır ve interpolasyon ile karesel sistemin diğer noktaları için bulunmuş değerleri bu çözüm ile kullanılır. Daha sonra bu metot daha büyük karesel sistemler için tekrarlanarak kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

• Jacobi metodu basit bir rahatlatma metodudur..
• Gauss–Seidel metodu Jacobi metodunun gelişmiş halidir.
• Başarılı aşırı rahatlatma metodu Jacobi veya Gauss–Seidel metotlarına yakınsamanın hızlandırılması için kullanılabilir.
• Çoklu karesel sistem yöntemi

Kaynakça ve dış bağlantılalar

• Southwell, R.V. (1940) Relaxation Methods in Engineering Science. Oxford University Press, Oxford.
• Southwell, R.V. (1946) Relaxation Methods in Theoretical Physics. Oxford University Press, Oxford.
• John. D. Jackson (1999). Classical Electrodynamics. New Jersey: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 
• M.N.O. Sadiku (1992). Numerical Techniques in Electromagnetics. Boca Raton: CRC Pres. 
• P.-B. Zhou (1993). Numerical Analysis of Electromagnetic Fields. New York: Springer.