Çokludoğrusal harita

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$

burada $V_1,\ldots,V_n$ ve $W\!$, tüm $v_i\!$ değişkenleri sabit tutulan her $i\!$ için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, $f(v_1,\ldots,v_n)$ ifadesi $v_i\!$'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir çiftdoğrusal haritadır. Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, simetrik, antisimetrik ve alternatizasyon kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler

• Her bir çiftdoğrusal harita bir çokludoğrusal haritadır. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı bir çokludoğrusal haritadır, $\mathbb{R}^3$ içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
• Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
• Eğer $F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ bir C^k fonksiyonu ise, $F\!$'nin her $p\!$ noktasındaki $k\!$inci türevinde $k\!$-doğrusal fonksiyon $D^k\!f(p)\colon \mathbb{R}^m\times\cdots\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ simetrik olarak görülebilir.
• Çokludoğrusal altuzay öğrenimindeki vektöre-tensör izdüşümü de bir çokludoğrusal haritadadır.

Koordinat gösterimi

Diyelimki

$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada $V_i\!$ boyutu $d_i\!$'dir ve $W\!$ boyutu $d\!$'dir. Her bir $V_i\!$ için $\{\textbf{e}_{i1},\ldots,\textbf{e}_{id_i}\}$ ve $W\!$ için $\{\textbf{b}_1,\ldots,\textbf{b}_d\}$ taban seçersek, $A_{j_1\cdots j_n}^k$ skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

$f(\textbf{e}_{1j_1},\ldots,\textbf{e}_{nj_n}) = A_{j_1\cdots j_n}^1\,\textbf{b}_1 + \cdots + A_{j_1\cdots j_n}^d\,\textbf{b}_d.$

Ardından $\{A_{j_1\cdots j_n}^k \mid 1\leq j_i\leq d_i, 1 \leq k \leq d\}$ skalerleri, $f\!$ çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer, $1 \leq i \leq n\!$ için,

$\textbf{v}_i = \sum_{j=1}^{d_i} v_{ij} \textbf{e}_{ij}\!$

oluyorsa,

$f(\textbf{v}_1,\ldots,\textbf{v}_n) = \sum_{j_1=1}^{d_1} \cdots \sum_{j_n=1}^{d_n} \sum_{k=1}^{d} A_{j_1\cdots j_n}^k v_{1j_1}\cdots v_{nj_n} \textbf{b}_k$ olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi

Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$

ve doğrusal haritalar

$F\colon V_1 \otimes \cdots \otimes V_n \to W\text{,}$

burada $V_1 \otimes \cdots \otimes V_n\!$ ifadesi $V_1,\ldots,V_n$ tensör çarpımıdır.

$f\!$ ve $F\!$ fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

$F(v_1\otimes \cdots \otimes v_n) = f(v_1,\ldots,v_n).$

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve $a_i$, Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

$D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n}) \,$

Daha geniş bir ifade ile;

$D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n}) \,$

$\hat{e}_j$ ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir $a_{i}$ satırını şöyle olur.

$a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\hat{e}_{j}$

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;

$D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1,j)\hat{e}_{j}, a_2, \ldots, a_n\right) = \sum_{j=1}^n A(1,j) D(\hat{e}_{j},a_2,\ldots,a_n)$

Her $a_i$ için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

$D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}})$

Burada seçtiğimiz $1 \le i \le n$ aralığında;

$\sum_{1\le k_i \le n} = \sum_{1\le k_1 \le n} \ldots \sum_{1\le k_i \le n} \ldots \sum_{1\le k_n \le n} \,$

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, $\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}}$ satırlarında $D$ fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

$D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) \,$

Burada $\hat{e}_1 = [1,0]$ ve $\hat{e}_2 = [0,1]$'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

$D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) = D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) = 0$ ve $D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) = -D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) = -D(I)$ olur. $D(I) = 1$ olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

$D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1} \,$

Özellikler

Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel form
• Çokludoğrusal form
• Homojen polinom
• Homojen fonksiyon
• Tensörler
• çoklu doğrusal izdüşüm
• Çokludoğrusal altuzay öğrenimi

Kaynakça