Çifte doğrusallık

matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Tanım

Eğer V, W ve X aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve

B : V × W X ise

herhangi W gönderim içindeki w için

vB(v, w)

bir doğrusal gönderim V den X 'adır, ve herhangi V içindeki v için gönderim

wB(v, w)

bir doğrusal gönderim W dan X 'adır. Başka bir değişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek , sonuç bir doğrusal işlemcidir, ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz V × W çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, B (V = 0 olmadıkça veya W = 0) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü,örnek için B(2(v,w)) = B(2v,2w) = 2B(v,2w) = 4B(v,w).

Eğer V = W ve bizim B(v,w) = B(w,v) var bütün v için,V içindeki w , ise B ye simetrik'tir deriz.

Bu durumda X , Fdir, ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir F alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir,burada uygun terim çokludoğrusaldır.

bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için ve bir sağ modül MR ve bir sol modül RN, biz bir çiftdoğrusal gönderim tanımlarız B : M × NT, burada T bir değişmeli gurup'tur, ayrıca herhangi in N içindeki n için, mB(m, n) bir gurup homomorfizmidir, ve herhangi M içindeki m için, nB(m, n) bir gurup homomorfizmidir,ve

B(mt, n) = B(m, tn)

bütün M içindeki m N içindeki n ve R içindeki t için yeterlidir

Özellikler

Tanımının Bir ilk acil sonucu bu B(x,y) = 0 her ne zaman x = 0 olduğunda veya y = 0. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 0·0,doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V,W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita (v,w) ↦ vMw, ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir

Eğer V, W, X sonlu-boyutlu, ise L(V,W;X) böyledir. X = F için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu dim V × dim W dir (eğer doğrusal L(V×W;F) formunun dim V + dim W). Bunu görmek için, Viçin bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(ei,fj) matrisi tarafından tekli gösterilebilir, ya da tam tersi. şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır,tabii ki bizim dim L(V,W;X) = dim V × dim W × dim X var.

Örnekler

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

This article is issued from Vikipedi - version of the 6/30/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.