Asal kuvvet

Matematikte, asal kuvvet, bir asal sayının pozitif tam sayı kuvvetidir. Örneğin: 5 = 5¹, 9 = 3² ve 16 = 2⁴, asal kuvvetlerdir. 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 ve 36 = 6² = 2² × 3² olduğundan dolayı asal kuvvet değildir.

İlk 30 asal kuvvet şunlardır: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 73 ve 79.

Asal kuvvetler, bir asal sayıya tam olarak bölünen pozitif tam sayılardır.

Özellikleri

Cebirsel özellikler

Asal kuvvetler, asal sayıların kuvvetleridir. (2'nin kuvveti hariç) her bir asal kuvvetin bir ilkel kökü vardır.

Bir sonlu alanın ögelerinin sayısı daima bir asal kuvvettir. Aksine her asal kuvvet bazı sonlu alandaki öge sayısı kadar oluşur. Bu alan izomorfizme kadar eşsizdir.

Kombinasyon özellikleri

Asal kuvvetlerin kombinasyon özelliği, analitik sayı kuramında sıkça kullanılır. Asal kuvvetler kümesi, karşılıklı yakınsağının sonsuz toplamında sonsuz toplamında asal olmayan bir küçük kümedir.

Bölünebilme özellikleri

Bir asal kuvvetin (φ) Totient fonksiyonu ile (σ₀) ve (σ₁) sigma fonksiyonları şu formüllerle hesaplanır:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Tüm asal kuvvetler, eksik sayılardır. Bir pⁿ asal kuvveti, n-asalımsıdır. Bir pⁿ asal kuvvetinin bir yandaş sayı olup olmadığı bilinmez. Eğer sayı varsa, pⁿ, 10¹⁵⁰⁰'den ve n, 1400'den daha büyük olmalıdır.

Medya

1997 yapımı Küp filmi, asal kuvvetlerde anahtar rol oynadı. Labirent benzeri küp yapıları içinde ölümcül tehlikeli gösteriler yapıldı.

Ayrıca bakınız

• Mükemmel kuvvet
• Asalımsı
• Yarı asal

Notlar