Sonlu alan

Cebirde sonlu alan veya Galois alanı (Évariste Galois'e ithaf edilsin diye bu adla adlandırıldı), sonlu sayıda elemandan oluşan bir cisimdir. Herhangi bir alan olarak düşünülürse sonlu alan, değişme, çarpma, toplama, çıkarma ve (sıfırdan farklı) bölme işlemlerinin tanımlandığı bir kümedir. Sonlu alanlara yaygın örnek, ℤ/3ℤ veya ℤ/7ℤ gibi tamsayı olan asal tamsayılar modülü verilebilir.

Sonlu alanlar yalnızca, (p bir asal sayı ve k pozitif tamsayı olan) p^k asal kuvveti için geçerlidir. Her bir asal kuvvet için bu boyuta sahip tek sonlu alan vardır. Bu boyuttaki tüm alanlar izomorfiktir. p^k boyutuna sahip bir alanın karakteristiği p dir. Bu, sonuç sıfır olana kadar her elemanın kopyalanarak pye eklenmesi anlamına gelir. Örneğin; ℤ/2ℤ (tamsayı mod 2), 1 + 1 = 0 olduğunda karakteristiği 2 olur. ℤ/5ℤ, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = vb. olduğunda karakteristiği 5 olur.

q kuvvetine sahip bir sonlu alanda X^q − X polinomunun tüm ögeleri, onun kökleri olur. Böylece q farklı doğrusal faktörleri elde edilir.

Sonlu alanlara, sayılar teorisi, cebirsel geometri, Galois teorisi, sonlu geometri, kriptografi ve kodlama kuramı da dahil matematik ve bilgisayar biliminde çok sık rastlanır.

Bazı küçük sonlu alanlar

F₂

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

× 0 1 0 0 0 1 0 1

F₃

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

× 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

F₄

+ 0 1 A B 0 0 1 A B 1 1 0 B A A A B 0 1 B B A 1 0

× 0 1 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 A B A 0 A B 1 B 0 B 1 A

F₈

Matris tamsayıları modül 2'yi ifade eden sekiz ögeli alan

  öge (0)         öge (1)         öge (2)         öge (3)

  0  0  0         1  0  0         0  1  0         0  0  1
  0  0  0         0  1  0         0  0  1         1  1  0
  0  0  0         0  0  1         1  1  0         0  1  1

  öge (4)         öge (5)         öge (6)         öge (7)

  1  1  0         0  1  1         1  1  1         1  0  1
  0  1  1         1  1  1         1  0  1         1  0  0
  1  1  1         1  0  1         1  0  0         0  1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7
(1)  1   0   4   7   2   6   5   3
(2)  2   4   0   5   1   3   7   6
(3)  3   7   5   0   6   2   4   1
(4)  4   2   1   6   0   7   3   5
(5)  5   6   3   2   7   0   1   4
(6)  6   5   7   4   3   1   0   2
(7)  7   3   6   1   5   4   2   0

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7
(2)  0   2   3   4   5   6   7   1
(3)  0   3   4   5   6   7   1   2
(4)  0   4   5   6   7   1   2   3
(5)  0   5   6   7   1   2   3   4
(6)  0   6   7   1   2   3   4   5
(7)  0   7   1   2   3   4   5   6

F₉

Matris tamsayıları modül 3'ü ifade eden 9 ögeli alan

 öge (0)         öge (1)        öge (2)

  0  0            1  0            0  1
  0  0            0  1            1  1

 öge (3)         öge (4)        öge (5)

  1  1            1  2            2  0
  1  2            2  0            0  2

 öge (6)         öge (7)        öge (8)

  0  2            2  2            2  1
  2  2            2  1            1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(1)  1   5   3   8   7   0   4   6   2
(2)  2   3   6   4   1   8   0   5   7
(3)  3   8   4   7   5   2   1   0   6
(4)  4   7   1   5   8   6   3   2   0
(5)  5   0   8   2   6   1   7   4   3
(6)  6   4   0   1   3   7   2   8   5
(7)  7   6   5   0   2   4   8   3   1
(8)  8   2   7   6   0   3   5   1   4

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(2)  0   2   3   4   5   6   7   8   1
(3)  0   3   4   5   6   7   8   1   2
(4)  0   4   5   6   7   8   1   2   3
(5)  0   5   6   7   8   1   2   3   4
(6)  0   6   7   8   1   2   3   4   5
(7)  0   7   8   1   2   3   4   5   6
(8)  0   8   1   2   3   4   5   6   7

F₁₆

F₁₆, a + b x + c x² + d x³ polinomu ile ifade edilir.
a, b, c ve d tamsayı modül 2 dir.
Polinomlar, x⁴ = 1 + x kuralı kullanılarak x kuvvetleri ile elde edilir.

. 

ö ( 0)        ö ( 1)        ö ( 2)        ö ( 3)
[ 0  0  0  0] [ 1  0  0  0] [ 0  1  0  0] [ 0  0  1  0]

ö ( 4)        ö ( 5)        ö ( 6)        ö ( 7)
[ 0  0  0  1] [ 1  1  0  0] [ 0  1  1  0] [ 0  0  1  1]

ö ( 8)        ö ( 9)        ö (10)        ö (11)
[ 1  1  0  1] [ 1  0  1  0] [ 0  1  0  1] [ 1  1  1  0]

ö (12)        ö (13)        ö (14)        ö (15)
[ 0  1  1  1] [ 1  1  1  1] [ 1  0  1  1] [ 1  0  0  1]

+/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 1_  1  0  5  9 15  2 11 14 10  3  8  6 13 12  7  4
 2_  2  5  0  6 10  1  3 12 15 11  4  9  7 14 13  8
 3_  3  9  6  0  7 11  2  4 13  1 12  5 10  8 15 14
 4_  4 15 10  7  0  8 12  3  5 14  2 13  6 11  9  1
 5_  5  2  1 11  8  0  9 13  4  6 15  3 14  7 12 10
 6_  6 11  3  2 12  9  0 10 14  5  7  1  4 15  8 13
 7_  7 14 12  4  3 13 10  0 11 15  6  8  2  5  1  9
 8_  8 10 15 13  5  4 14 11  0 12  1  7  9  3  6  2
 9_  9  3 11  1 14  6  5 15 12  0 13  2  8 10  4  7
10_ 10  8  4 12  2 15  7  6  1 13  0 14  3  9 11  5
11_ 11  6  9  5 13  3  1  8  7  2 14  0 15  4 10 12
12_ 12 13  7 10  6 14  4  2  9  8  3 15  0  1  5 11
13_ 13 12 14  8 11  7 15  5  3 10  9  4  1  0  2  6
14_ 14  7 13 15  9 12  8  1  6  4 11 10  5  2  0  3
15_ 15  4  8 14  1 10 13  9  2  7  5 12 11  6  3  0

x/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 1_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 2_  0  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1
 3_  0  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2
 4_  0  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3
 5_  0  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4
 6_  0  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5
 7_  0  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6
 8_  0  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7
 9_  0  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8
10_  0 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11_  0 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
12_  0 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13_  0 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
14_  0 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
15_  0 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14

F₂₅

F₂₅, a + b√2 sayıları ile ifade edilir. a ve b, tamsayı modül 5 dir.
2 + √2 kuvvetleri ile elde edilir.

ö ( 0)	ö ( 1)	ö ( 2)	ö ( 3)	ö ( 4)
0 + 0√2	1 + 0√2	2 + 1√2	1 + 4√2	0 + 4√2
ö ( 5)	ö ( 6)	ö ( 7)	ö ( 8)	ö ( 9)
3 + 3√2	2 + 4√2	2 + 0√2	4 + 2√2	2 + 3√2
ö (10)	ö (11)	ö (12)	ö (13)	ö (14)
0 + 3√2	1 + 1√2	4 + 3√2	4 + 0√2	3 + 4√2
ö (15)	ö (16)	ö (17)	ö (18)	ö (19)
4 + 1√2	0 + 1√2	2 + 2√2	3 + 1√2	3 + 0√2
ö (20)	ö (21)	ö (22)	ö (23)	ö (24)
1 + 3√2	3 + 2√2	0 + 2√2	4 + 4√2	1 + 2√2

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
1	1	7	18	6	3	12	14	19	22	5	20	2	10	0	23	16	11	21	15	13	9	8	24	4	17
2	2	18	8	19	7	4	13	15	20	23	6	21	3	11	0	24	17	12	22	16	14	10	9	1	5
3	3	6	19	9	20	8	5	14	16	21	24	7	22	4	12	0	1	18	13	23	17	15	11	10	2
4	4	3	7	20	10	21	9	6	15	17	22	1	8	23	5	13	0	2	19	14	24	18	16	12	11
5	5	12	4	8	21	11	22	10	7	16	18	23	2	9	24	6	14	0	3	20	15	1	19	17	13
6	6	14	13	5	9	22	12	23	11	8	17	19	24	3	10	1	7	15	0	4	21	16	2	20	18
7	7	19	15	14	6	10	23	13	24	12	9	18	20	1	4	11	2	8	16	0	5	22	17	3	21
8	8	22	20	16	15	7	11	24	14	1	13	10	19	21	2	5	12	3	9	17	0	6	23	18	4
9	9	5	23	21	17	16	8	12	1	15	2	14	11	20	22	3	6	13	4	10	18	0	7	24	19
10	10	20	6	24	22	18	17	9	13	2	16	3	15	12	21	23	4	7	14	5	11	19	0	8	1
11	11	2	21	7	1	23	19	18	10	14	3	17	4	16	13	22	24	5	8	15	6	12	20	0	9
12	12	10	3	22	8	2	24	20	19	11	15	4	18	5	17	14	23	1	6	9	16	7	13	21	0
13	13	0	11	4	23	9	3	1	21	20	12	16	5	19	6	18	15	24	2	7	10	17	8	14	22
14	14	23	0	12	5	24	10	4	2	22	21	13	17	6	20	7	19	16	1	3	8	11	18	9	15
15	15	16	24	0	13	6	1	11	5	3	23	22	14	18	7	21	8	20	17	2	4	9	12	19	10
16	16	11	17	1	0	14	7	2	12	6	4	24	23	15	19	8	22	9	21	18	3	5	10	13	20
17	17	21	12	18	2	0	15	8	3	13	7	5	1	24	16	20	9	23	10	22	19	4	6	11	14
18	18	15	22	13	19	3	0	16	9	4	14	8	6	2	1	17	21	10	24	11	23	20	5	7	12
19	19	13	16	23	14	20	4	0	17	10	5	15	9	7	3	2	18	22	11	1	12	24	21	6	8
20	20	9	14	17	24	15	21	5	0	18	11	6	16	10	8	4	3	19	23	12	2	13	1	22	7
21	21	8	10	15	18	1	16	22	6	0	19	12	7	17	11	9	5	4	20	24	13	3	14	2	23
22	22	24	9	11	16	19	2	17	23	7	0	20	13	8	18	12	10	6	5	21	1	14	4	15	3
23	23	4	1	10	12	17	20	3	18	24	8	0	21	14	9	19	13	11	7	6	22	2	15	5	16
24	24	17	5	2	11	13	18	21	4	19	1	9	0	22	15	10	20	14	12	8	7	23	3	16	6

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
2	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1
3	0	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2
4	0	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3
5	0	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4
6	0	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5
7	0	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6
8	0	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7
9	0	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8
10	0	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	0	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	0	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
13	0	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
14	0	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
15	0	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
16	0	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
17	0	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
18	0	18	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
19	0	19	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
20	0	20	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
21	0	21	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
22	0	22	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
23	0	23	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
24	0	24	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23

Ayrıca bakınız

• Soyut cebir
• Sonlu halka
• Sonlu grup