Bağlantı (cebrik çerçeve)

Kuantum sistemlerinin geometrisi (yani değişmeli olmayan geometri ve süpergeometri) başlıcasıdır modülü'nün cebrik terimleri içinde ifade edilir ve cebirin bağlantılar modülü üzerine $E\to X$'nin kesitlerinin $C^\infty(X)$-modülü üzerinde bir Koszul bağlantısı üzerinde olarak yazılan bir düzgün vektör demeti bir doğrusal bağlantısının genellemesidir $E\to X$ ^[1]

Değişmeli cebir

Diyelimki $A$ bir değişmeli halka olsun ve $P$ bir $A$-modül.Burada $P$ üzerinde bir bağlantının farklı eşitlik tanımlarıdır.^[2] Diyelimki $D(A)$ , $A$ halkasının türevlerinin modülü olsun.Bir $P$ üzerinde bir $A$-modulü bağlantı tanımlanıyor bir $A$-modül biçimi olarak

$\nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P)$

böylece ilk sıra diferensiyel işlemciler $\nabla_u$ $P$ üzerinde Leibniz kuralı uyar

$\nabla_u(ap)=u(a)p+a\nabla_u(p), \quad a\in A, \quad p\in P.$

Değişmeli halka üzerinde bir modül bağlantıları her zaman var.

$\nabla$ bağlantısının eğriliği sıfır-sıralı differensiyel işlemci olarak tanımlanıyor

$P$ modülü üzerinde tüm $u,u'\in D(A)$ için $R(u,u')=[\nabla_u,\nabla_{u'}]-\nabla_{[u,u']} \,$

Eğer $E\to X$ bir vektör demeti ve burada bir-e-birdir doğrusal bağlantılar arasında karşılık gelen $E\to X$ üzerinde $\Gamma$ ve

$\nabla$ üzerinde bağlantılar

Açıkçası $E\to X$ üzerinde bir bağlantının eşdeğişken diferansiyeline karşı $\nabla$

$E\to X$ nin kesitlerinin $C^\infty(X)$-modülüdür .

Değişmeli cebir dereceleri

Değişmeli halkalar üzerinde modül üzerinde bir bağlantının gösterimi is bir dereceli değişmeli cebir üzerinde modüle doğrudan doğruya uzanır.^[3] Bu dereceli manifoldlar ve supervektör demetlerinin supergeometrisi içinde superbağlantılarının durumudur. Superbağlantı her zaman var.

Geçişsiz cebir

Eğer $A$ bir değişmeli olmayan halka,$A$-modülü soldaki ve sağdaki bağlantıları değişmeli halkaları üzerinde modüllerinde kişilerce benzer bir şekilde tanımlanır.^[4] Ancak bu bağlantıların varlığı gerekmez.

Sağ ve sol modülleri üzerindeki bağlantıların aksine, bir üzerine bir bağlantı tanımlamak konusunda bir sorun var değişmeli olmayan halkalar üzerinde $R-S$-çiftmodül $R$ ve $S$. Burada farklı tanımlamalar gibi bir bağlantının.^[5] Diyelimki onların bir anlamı.Bir $R-S$-bimodule $P$ üzerinde bir bağlantı bir çiftmodül biçimi olarak tanımlanıyor

$\nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P)$

Buna uyan Leibniz kuralı

$\nabla_u(apb)=u(a)pb+a\nabla_u(p)b +apu(b), \quad a\in R, \quad b\in S, \quad p\in P.$

Ayrıca bakınız

• Bağlantı (vektör demeti)
• Bağlantı (matematik)
• Geçişli olmayan geometri
• Supergeometri
• Değişmeli cebir üzerinde diferansiyel

Notlar

1. ↑ Koszul (1950)
2. ↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
3. ↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
4. ↑ Landi (1997)
5. ↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Kaynakça

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algèbres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv:q-alg/9503020v2
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

Dış bağlantılar

• Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrücken, 2012); arXiv: 0910.1515