Bağlantı (vektör demeti)

Matematikte, bir lif demeti üzerinde bir bağlantı ve bir paralel taşıma kavramını tanımlayan bir araçtır; O, bir "bağlantı" için veya yakındaki noktaları üzerinden lifleri tanımlamak için bir yoldur,lif demeti bir vektör demeti ise, paralel taşıma kavramının doğrusal olması gerekir,bu bağlantı gibi bir taban manifold içinde teğet yönler boyunca bu demetin değiştirilebilir böyle kesitleri eşdeğişken türev ile eşdeğerlik özelliği olan bu operatör ile belirtilir.Rastgele vektör demetleri için bu genel anlamdaki bağlantılar,bir düzgün manifoldun tanjant demeti üzerinde doğrusal bağlantının bir kavramı ve bazen doğrusal bağlantılar olarak bilinen bağlantılar için bir genellemedir.doğrusal olmayan bağlantılar bu bağlantılardır ,bu anlamda illede doğrusal değildir .

Vektör demetleri üzerinde bağlantılar da bazen bunları açıklayan bir cebirsel çerçeveyi Jean-Louis Koszul 1950 yılında verdi adına Koszul bağlantıları dendi.

Resmi tanım

Diyelimki E → M bir M diferansiyellenebilir manifold üzerinde bir düzgün vektör demeti olsun. Γ(E) ile E nin düzgün kesitlerinin uzayını ifade etsin.E üzerinde bir bağlantı ℝ-doğrusal göndermedir

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M)}$

böylece the Leibniz kuralı

${\displaystyle \nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df}$

M üzerinde f tüm düzgün fonksiyonlar ve E nin σ tüm düzgün kesitler için uygundur.

Eğer X ,M üzerinde bir tanjant vektör alanı(yani TM tanjant demetinin bir kesiti ) ise bir X boyunca bir eşdeğişken türev tanımlanabilir

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

(X)) (yani ∇_Xσ = (∇σ) ∇ bağlantısı içinde indis eşdeğişken sonuçları ile X ile kasılıyor .Eşdeğişken türeviyle aşağıdaki özellikleri taşıyorsa:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma .\end{aligned}}}$

Aksine,E üzerinde bir bağlantının yukardaki herhangi operatör özelliklerinin tanımı ve E üzerinde eşdeğişken türev üzerinde bu anlamda, bir bağlantı olarak da bilinir.

Vektör-değerli formlar

Diyelimki E → M, bir vektör demeti olsun,r nin derecesinin bir E-değerli diferansiyel formu E ⊗ Λ^rT*M demeti tensor çarpımının bir kesiti,gibi formların uzayı ile ifade edilir

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Gamma (E\otimes \textstyle \bigwedge ^{r}T^{*}M).}$

Bir E-değerli 0-form E demetinin sadece bir kesitidir.Şöyle,

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).\,}$

E → M üzerinde bir bağlantı gösterimi içinde bu bir doğrusal göndermedir

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Bu bağlantı sonra vektör demeti değerli formlara dış türevin bir genellemesi olarak görülebilir Aslında,E ∇üzerinde verilen bir bağlantı burada bir eşdeğişken dış türeve ∇ uzantıya bir teklik yolu veya dış eşdeğişken türevdir

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

Aksine sıradan dış türev (d^∇)² = 0 ifadesine bir gerek yoktur. Aslında, (d^∇)² ∇ bağlantısının eğriliğine direk ilişkilidir (aşağıya bakınız).

Afin özellikler

Her vektör demeti bir bağlantı kabul eder. Bununla birlikte, bağlantılar teklik değildir. Eğer ∇₁ ve ∇₂ E → M üzerinde iki bağlantı ise bunlar farklı bir C^∞-doğrusal işlemcidir. Şöyleki,

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(f\sigma )=f(\nabla _{1}\sigma -\nabla _{2}\sigma )}$

E nin M üzerinde tüm düzgün f fonksiyonlar ve tüm düzgün σ kesitleri için bu farklı ∇₁ − ∇₂ End(E) = E⊗E* endoformizm demeti içinde M üzerinde tek form ile uyarılan değerleri ile aşağıdadır:

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

Aksine, eğer ∇ E üzerinde bir bağlantı ve A , M üzerinde bir tek-form End(E) içindeki değerler ile,ise ∇+A bir E üzerinde bir bağlantıdır

Diğer bir değişle, E üzerinde bağlantıların uzayı bir afin uzayı için Ω¹(End E)dir.

Örnekler

• Bir klasik eşdeğişken türev veya ilgin bağlantı,M tanjant demeti üzerinde ya da daha genel olarak kendisi ve onun ikili ile tanjant demeti tensör çarpımlarını alarak oluşturulan herhangi bir tensör demeti üzerinde bir bağlantıyı tanımlar .
• Levi-Civita bağlantısı Riemann manifoldunun tanjant demeti üzerinde bir bağlantıdır.
• Dış türev E = M×R (M üzerinde önemsiz çizgi demeti) üzerinde düz bir bağlantıdır.
• Daha genel olarak, herhangi bir değersizleştirme de dış türevi tarafından verilen herhangi bir düz vektör demeti üzerinde(yani bir vektör demeti olan geçiş işlevlerinin tüm sabittir) bir kurallaşmış düz bir bağlantı var.

Ayrıca bakınız

• D-modül
• Bağlantı (matematik)

Kaynakça

• Chern, Shiing-Shen (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes 
• Darling, R. W. R. (1994), Differential Forms and Connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46800-0 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963], Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Classics Library, New York: Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3 
• Koszul, J. L. (1950), "Homologie et cohomologie des algebres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique 78: 65–127 
• Wells, R.O. (1973), Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0 
• Ambrose, W.; Singer, I.M. (1953), "A theorem on holonomy", Transactions of the American Mathematical Society 75: 428–443